* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 429 n Если же | ? | ^ > 1 . то ф стремится к бесконечности, и у S ко­ нечного предела нет. Если, наконец, | ^ ] = 1, то, останавливаясь на случае q =—1 (ибо случай q = -\-\ уже рассмотрен), приходим к прогрессии вида которая аналогично ряду (6) оказывается расходящейся. Таким образом геометрическая прогрессия (10) сходится тогда и только тогда, когда абсолютная величина её знаменателя меньше единицы * В последнем случае сумма прогрессии S= равна 1-g34. Простейшие свойства рядов. Т е о р е м а 1. Если члены сходящегося ряда, не меняя их по­ рядка, объединить в конечные группы и составить ряд из сумм этих групп, то он будет сходиться и иметь сумму, равную сумме первоначального ряда. Иначе говоря, если fl i + a + fl fl 3 + --- = S О ) 1 и Л1<[л <[Лз<\.., в то ni ni+1 (а + a - f - . . . -f-a )_f ( a д a -|- ... + а „ ) - | а В самом деле, если S и Sn суть соответственно частичные суммы рядов (11) и (12), то, как легко видеть, n Это означает, что последовательность S[, S^, SJ, . . . является частичной по отношению к последовательности S S S , . . . Так как последняя сходится к S, то это верно и относительно после­ довательности { Si}. , Доказанную теорему можно коротко формулировать так: члены сходящегося ряда можно заключать в скобки* Ещё иначе можно сказать, что сходящиеся ряды обладают « с о ч е т а т е л ь н ы м с в о й ­ с т в о м». Интересно отметить, что из сходимости ряда (12) не вытекает схо­ димость ряда (11). Это видно хотя бы из следующего примера: хотя ряд u it s [!+(-!)] + [1+ ( - 1 ) Ж сходится, но ряд ! + ( - ! ) ] + . i+(-i)+i-K-i)-f-i+... расходится. Таким образом, «раскрывать скобки» можно не всегда.