* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 427 Пример 3. Рассмотрим ряд (6) Здесь 5 = 1 , если п — число нечетное, и 5 = 0, если п — число четное. Значит, ряд (6) расходится. Этот пример весьма поучителен.' Он показывает, что нельзя при­ писывать чрезмерно большое значение а н а л и т и ч е с к и м а п п а ­ р а т а м , считая, что если написано некоторое аналитическое выра­ жение, то оно обязательно должно иметь какой-то смысл, и вопрос состоит лишь в том, чтобы доискаться этого смысла. Нет надобно­ сти говорить, что последняя концепция н е п р а в и л ь н а и педагоги­ чески полезны примеры,, опровергающие ее. Ряд (6) хорошо при­ способлен для этой цели. Один математик XVIII в. по поводу этого ряда «рассуждал» так; пусть Я Л 1 + ( - 1 > + 1 + ( - ! ) + •.• = & Тогда, объединяя члены попарно, получим С другой стороны, 5 можно записать и так: S=l+[(—1)+1]+[(-!)+!]+...= 1 + 0 + 0 . . . = 1. (7) 5=[l+(-l)]+[l+(-l)]4-[l+(-l)]-f-.. . = 0 + 0 + 0 + . ..=0. Отсюда «следует», что 0 = 1 . Будучи мистиком, этот математик выводил далее из своего «открытия», что «ничто» (т. е. 0) — это то же самое, что «нечто» (т. е. 1), а потому ничего абсурдного в том, что бог создал мир иэ ничего, якобы нет. Приведённые «рассуждения», конечно, лишены какого бы то ни было научного значения, но они характерны как образец той «фе­ тишизации аппарата», о которой говорилось выше. Читателю ясно, что причиной нелепого заключения, что 0 = 1 , является пренебреже­ ние вопросом о сходимости рассматриваемого ряда. Начиная с первой четверти XIX в., учение о рядах было поставлено на твёрдую почву, благодаря введению точных определений, и все подобные недоразу­ мения отпали. П р и м е р 4. Рассмотрим ряд ~П~2 Замечая, что 1 _ 1 1_ k(k+l) ~ k А+1» мы можем представить частичную сумму S так: n ~2~^3 ~Ь 3~Г4 "Ь ••• ( ) 8 *) Хотя иногда она даёт толчок к весьма ценным открытиям (например, мнимые числа, операторное исчисление). Иными словами, эта концепция, будучи логически несостоятельной, представляет полезное эвристическое средство.