* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

426 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ в определении ряда (1), обязательно б е с к о н е ч н о . Таким образом, с чисто формальной точки зрения, ряды — это суммы, содержащие бесконечное множество слагаемых. Первый вопрос; возникающий при рассмотрении подобных выра­ жений, заключается в том, имеют ли они какое-либо числовое зна­ чение. Оказывается, что приписать разумным образом такое значение удаётся далеко не всем, а лишь так называемым с х о д я щ и м с я рядам *). Пусть дан ряд (1). Образуем последовательность чисел S S$, . . . , полагая ti 5 я = а 1+ а 9 + --- + п Л (n=h 2, 3 . . . ) . ряда (1). (3) Эти числа называются частичными суммами Если существует конечный предел Иш S , n П-+СО то говорят, что ряд (1) сходится, а предел (3) называется его суммой. Если же предела (3) не существует или он бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся. Таким образом, сумма ряда—это (конечный) предел последо­ вательности его частичных сумм. Если ряд (1) имеет сумму S, то пишут S=a или со t + Если же ряд расходится, т о ) ему не приписывают никакого числового значения. Приведём несколько примеров, разъясняющих введённые опре­ деления. П р и м е р 1. Рассмотрим ряд 0 + 0 + 0 + 0 + ... n и кх> 1 (4) Здесь S = 0, а потому и lim5„ = 0, т. е. ряд (4) сходится и сумма его равна нулю. ~ П р и м е р 2. Рассмотрим ряд 1 + 1 + 1 + 1+ ... Здесь S = n, поэтому lim 5 = + оо и ряд расходится, n п (5) _ 1 л-ки ) В более высоких частях теории оказывается возможным и некоторым расходящимся рядам придавать числовое значение, но мы здесь этого делать не будем.