* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 411 29. Вычисление объёмов. Рассмотрим тело 7, содержащееся между параллельными плоскостями х — а и х = Ь. Допустим, что в сечении тела 7 каж­ дой плоскостью х=х , перпендикулярной к оси Ох, получается фигура Т(х ), имеющая площадь F(XQ), причём F{x) есть непрерывная функция, ар­ гумента х (рис. 32). Поставим вопрос .об объёме тела 7. При этом речь здесь должна итти не только о в ы ч и с л е ¬ н и и объёма, но преж­ де всего о логическом определении этого понятия ). Разобьём промежуток [с, б] .точками х = a <^x <^х <^... < <^х = Ь и проведём плоскости х=х%. Эти плоскости разрежут тело ' 7 на п тонких слоёв. В .простых случаях каждый такой слой можно приближённо принять за цилиндр с объёмом 0 0 1 0 t 2 п [мы считаем, что прямой цилиндр с основанием, имеющим пло­ щадь F, и высотой h и м е е т объём V = Fh], Поэтому величину суммы п —I естественно считать приближённой мерой объёма V тела 7 (причём в этот момент рассуждения у нас всё ещё нет точного определения этого понятия!). Но тогда опять-таки естественно принять (что мы и делаем) за самое о п р е д е л е н и е объёма V предел суммы о при X = max (x — х) 0. Д о к а з ы в а т ь это определение (как и всякое другое), конечно, не надо. Вместо этого надо подчеркнуть, что упомянутый предел для рассмотренного класса тел всегда с у ­ щ е с т в у е т , ибо о есть интегральная сумма н е п р е р ы в н о й функk+l к *) Развёрнутый анализ понятия объёма будет дан в четвёртой книке «Энциклопедия элементарной математики». Здесь же это понятие рассматри­ вается лишь в связи с использованием интеграла (однократного) для вы­ числения объёма и общего определения не даётся.