* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

410 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Рассмотрим теперь площадь F фигуры, содержащейся между линиями х = а, х=Ъ, y=f(x), y = g(x), где f(x) и g(x) — две непрерывные, положительные ) функции, заданные на [а, Ь] и удовлетворяющие неравенству / ( * ) < * ( * ) (Рис 30). Вполне очевидно, что эта пло­ щадь выражается формулой ь J а Рис. 30. или, если положить g =г(х), формулой F = ^r(x)dx. (х)—/(х)= (1) Последняя формула показы­ вает, что ф о р м а фигуры ника­ кой роли не играет. Важна лишь д л и н а г(х) отрезка ординаты между линиями y=f{x) и y=g (х)> Отсюда следует, что, взяв другую пару функций f (х) и g {х), подчинённую условию Si ( ) —fi ( ) — ( )> получим фигуру, р а в н о в е л и к у ю преж­ ней. Этот результат, установленный ещё в XVII в. одним из пред­ шественников Ньютона и Лейбница итальянцем Кавальерн, допускает и чисто геометрическую формулировку: П р и н ц и п К а в а л ь е р и. Если две плоские фигуры I и II содержатся между двумя параллельными прямыми р и q (рис. 31) и обладают тем свойством, что в сечении их любой прямой г, параллельной р и q, получаются отрезки одинаковой длины, то эти фигуры имеют одну и ту же плоищдь. Легко показать ), что в том случае, когда упомянутые отрезки не равны друг другу, но находятся в некотором постоянном отно­ шении, то в том же отношении будут находиться и площади фи­ гур / и //. t х х г х м ы 2 ') Легко видеть, что условие положительности f(x) и g(x) можно было *>ы отбросить. ) В самом деле, одна из площадей будет выражаться формулой (1), ь а другая—аналогичной формулой 7 ^ = I r (х) dx. Если n(x)=*kr (х), то и Fi = kF. i & x