* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

392 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРЛЛЫ И РЯДЫ Приведём сначала не строгое, но очень наглядное геометриче­ ское рассуждение, выясняющее суть теоремы. Предполагая функцию / ( г ) непрерывной и положительной на [а, Ь], мы сможем изобразить функцию Ф(дг) в виде площади кри­ волинейной трапеции, ограни­ ченной линиями у = 0, t = a t=x, y=f(f) (рис. 25). При­ давая аргументу х прираще­ ние Ах (пусть для простоты Ах ^> 0), мы изобразим прира" t щение ДФ функции Ф (х) в виде плошади узкой полоски, заштрихованной на чертеже. Приняв эту полоску за прямоугольник с основанием Ах и высотой f (x) (где х — точка дифференцирования), мы получаем приближён­ ное равенство ДФ ъ/{х) Ах, f я 1 y которое можно записать и так: Так как точность этого равенства тем выше, чем меньше Длг, то /(*) = Hm - g - , а это равносильно формуле (17). Переходя к точному доказательству основной теоремы, рассмот­ рим две точки х \\ х-\-Ах из промежутка [а, Ь\, на котором за­ дана непрерывная функция / ( г ) . Тогда X а х + Длг х х-\-Ьх Ф ( * + Д*) = j a f(t)dt= j * f(t)dt+ a j x /(0dt. Отсюда, применяя теорему о среднем значении, находим Jf-|- д * Ф(х-\-Ьх) — Ф (х) = J X f[f)dt=fi$)Ax, причём £ лежит между д: и х-\-Ах. Фус + Ьх)-Ф(х) Ах В таком случае _ . / W» f r