* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 389 Последний результат можно несколько уточнить. Т е о р е м а 7. Если a<^b, a f(x)— непрерывная неотрицатель­ ная функция, которая хотя бы в ядной точке [а, Ь\ отлична*от нуля, то ь f(x)dx>0. В самом деле, пусть х (а<^х <^Ь) — такая точка, ч т о / ( д : ) ^ > 0 . Возьмём столь малое 8 > 0 , чтобы при \х—* К8 было / ( л : ) ] > О , что, очевидно, возможно, благодаря непрерывности нашей функ­ ции. Не ограничивая общности, можно принять, что a^x — 8, * + 8^* Тогда 0 0 0 0 Q в ; §f(x)dx = J f(x)dx + J\/(*)<£* + j* f(x)dx. Первый и третий интегралы .правой части по предыдущей тео­ реме неотрицательны, а второй интеграл по теореме о среднем представим в форме J f(x)dx=f£).2h (* _8^*£л: 0 0 + 8), и потому строго положителен. Теорему 7 можно, очевидно, формулировать и так: Т е о р е м а 8. Пусть f(x) — неотрицательная непрерывная функция, заданная в [а, Ь], причём а<^Ь. Если ь f{x) dx = О, то f(x) всюду на [а, Ь] равна нулю. В обеих теоремах 7 и 8 (в отличие от теоремы 6) нельзя от­ бросить условия непрерывности подинтегральной функции. Напри­ мер, функция, которая в конечном числе точек [а, Ь] равна еди­ нице, а в остальных точках этого промежутка равна нулю, будет неотрицательной и нетождественной нулю, а интеграл от неё (как было показано в п° 22) равен нулю. Т е о р е м а 9. Если a^b, a f(x) u*g(x)— две непрерывные функции, которые на [а, Ь] удовлетворяют условию f(x)*£g(x), то ъ ь §f{x)dx^§g(x)dx, (15)