* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

388 Так ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ как при всех к будет т ^ f(l ) *£М, a x >x то « — **) ( k+i ~ k ) ^ ( ь+\ — Складывая такие неравенства и замечая, что k k+t kf x x M х л— I У (x —x ) M t = b — a, k =о получим: т (Ь— а)^о^М{Ь — а). Переходя в этом неравенстве к пределу при А - * 0 , приходим после деления на Ь — а к новому неравенству ъ т ^ Т = ^ J а f(x)dx^M. Таким образом, частное ь h = 7=T а i*Ю*х есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [а, Ь] обязательно существует такая точка Е, что Л = / ( £ ) , а это равно­ сильно равенству (14). Заметим, что равенство (14) справедливо не только при а<^Ь, но и при а = Ь (тогда обе части этого равенства суть нули), а также и при а^>Ь (этот случай приводится к рассмотренному из­ менением знаков). В первом из этих случаев будет Е = а, а во втором а^Ь^Ь. Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из неё вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся н е р а в е н ­ ствами. Т е о р е м а 6. Если f(x) — неотрицательная непрерывная функ­ ция и нижний предел интеграла не больше верхнего *), то и сам интеграл будет числом неотрицательным ь J а f(x)dx^0. оба сомножителя правой части Действительно, в этом случае формулы (14) неотрицательны. х ) Если в интеграле J* f(x)dx п ь будет а^Ь% то мы будем говорить, что порядок пределов интегрирования — н о р м а л ь н ы й .