* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ИНТЕГРАЛЫ
383
Иначе говоря, сумма (7) не больше величины (6), а тогда S'z^S. С л е д с т в и е , Каждая нижняя интегральная сумма не больше, чем каждая верхняя. В самом деле, выберем какие-либо два способа (1) и (II) дробле ния промежутка [я, Ь] и пусть s есть нижняя сумма, отвечающая способу (I), а 5 — верхняя сумма, отвечающая способу (II). Соста вим новый способ дробления (III), точками деления которого служат точки деления обоих способов (I) и (И), и пусть нижняя и верхняя суммы, отвечающие этому новому способу дробления, суть s и 5 . Согласно лемме будет s s^s , S ^S^ С другой стороны, очевидно, Sa^S . Отсюда и вытекает,- что
{ а z 3 x 3 % B
Закрепим теперь какую-нибудь верхнюю сумму & . Тогда для ка ждой нижней суммы s будет
0
Таким образом, множество нижних сумм \s} отвечающих все возможным способам дробления |а, #1, ограничено сверху, и S„ — его верхняя граница. Обозначим через / точную верхнюю границу упомянутого множества
t
/ = sup \s\. Тогда / ^ 5 , а так как 5 есть п р о и з в о л ь н а я верхняя сумма, то постоянное число / оказывается удовлетворяющим неравенству
0 П
s^I^S,
(8)
в котором s и S суть совершенно произвольные нижняя и верхняя суммы. Теперь нетрудно доказать формулированную выше теорему (см. стр. 381). Пусть s S u e суть суммы, отвечающие какому-либо способу дробления (разумеется, для построения суммы о надо ука зать ещё точки E ). Из (5) и (8) следует, что
9 ft
| о — f ^ S — s.
(9)
С другой стороны, функция /(дг), будучи непрерывной на замкну том промежутке \a b], оказывается и равномерно непрерывной на этом промежутке. Значит, для любого е > 0 существует такое 8 О , что как только \х" — я ' К 6 (причём xf и дг" взяты из [a, b]) так сейчас же
t t
