* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

382 П О З О Н Е И Т ГА Ы И Р Д Р ИВ Д Ы , Н Е Р Л ЯЫ Пусть на fa, b] задана непрерывная функция /(дг). Разобьём [a, Ь] на части точками и обозначим через М и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на частичном промежутке \x х ]. Суммы ь k k9 ш л—I л—I f t S= 2 ^ ( % i - 4 s = 2 Щ{х м — x) k называются соответственно верхней и нижней интегральными сум­ мами (отвечающими выбранному способу дробления). Введение этих сумм вызвано тем обстоятельством, что они пол­ ностью определяются способом дробления [a, Ь\ в то время как для определения суммы о надо задать ещё точки Легко видеть, что при выбранном способе дробления и при любом выборе точек (i будет s^o^S. (5) 9 ft Л е м м а . Пусть промежуток [a Ь] раздроблён на части точ­ ками х = а<^х <^х <^ ... <^х = Ь, и составлены суммы S и s отвечающие этому способу дробления. Если мы добавим новые точки дробления (сохраняя старые) и снова составим верхнюю и нижнюю суммы S и s\ то окажется t п 1 2 п t s^s ^S'^S. Иными словами, от добавления новых точек деления нижняя интегральная сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается. Доказательство проведём лишь для верхних сумм. Очевидно, достаточно рассмотреть тот случай, когда вводится только одна новая точка деления л , ибо общий случай приводится к этому пу­ тём повторного введения по одной точке. Пусть Xi<^x<^x . Тогда новая верхняя сумма 5' получается из старой суммы £ заменой слагаемого i+l М,(х —хй м (6) —х\ (7) суммой двух слагаемых М\ (х—*,) + М/ (х м где М\ и Ml суть наибольшие значения f(x) в промежутках [дг,-, дг] и [ i , Jflj^j]. Все же остальные слагаемые в обеих суммах S и S' одинаковы. Так как промежутки \x , х] и \х, лг, | суть части про­ межутка [л:,, х ], то, очевидно, Mi*^M MI^M . По тогда t +1 м i9 t М\ ( х — л:,) - f Ml (x i+l — x)^M [(x—x )-{(х = M (x —x ). i i i M i м — *)J =