* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 381 Если при этом существует конечный предел /=Нто, х —о к9 (4) не зависящий от выбора точек Ъ то этот предел называется опре­ делённым интегралом oY функции f(x) по промежутку [а, Ь\ и обозначается через ь j а f(x)dx. Точный смысл соотношения (4) таков: всякому е > 0 отвечает такое 8 ] > 0 , что при любом способе дробления, у которого Х < 4 , будет i«-/!^«. как бы при этом ни были выбраны точки Ь £\ к> x \. Читатель видит, что предельное соотношение (4) имеет довольно своеобразный характер. Отдадим себе отчет в том, для каких функций введенное поня­ тие оказывается достаточно естественным. Если у функции /(лг) существует интеграл (в этом случае гово­ рят, что /(лг) и н т е г р и р у е м а ) , то это означает, что суммы о, отвечающие дроблениям с достаточно малым X, будут близки к не­ которому постоянному числу, как бы ни выбирать точки Е . Поэтому, меняя точки Е , мы не будем существенно изменять величины сум­ мы о. Но это возможно лишь за счет того, что изменение точек E не вызывает заметного изменения чисел /(£•.) (по крайней мере в большинстве слагаемых суммы о). Для функций н е п р е р ы в н ы х указанное обстоятельство п в самом деле имеет место, ибо точки \ могут изменяться лишь в коротких промежутках \x x ] а у не­ прерывных функций близким значениям аргумента отвечают близкие же значения функции. Поэтому естественно ожидать, что у непре­ рывной функции определенный интеграл существует. Если же функ­ ция /(лг) разрывна, то, вообще говоря, нет оснований ожидать у неё существования интеграла. Изложенные соображения подтверждаются следующей теоремой: Т е о р е м а . Если функция f(x) непрерывна на [а, Ь], то инте­ грал к k¥l й й fe к kf k+l 9 х ъ §f(x)dx а существует. Доказательство этой теоремы довольно сложно, и мы предпошлём ему некоторые испомогательные соображения.