* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

И Т ГА Ы НЕР Л Таким образом, , _ 1 Г , , _ ! Л Г 377 1, г 1 ! а * - 1 " I ^ 2(1 — г) \ - 2(1 - г) * (г + А * / ' Повторно применяя эту формулу, сведем дело к нахождению интеграла Г, = I -j-:—5 = —arctg — + С- Приведённый мелким шрифтом способ доказательства теоремы является в то же время и способом фактического вычисления инте­ гралов от функций вида (5), но на практике обычно применяются более удобные способы интегрирования, наиболее важный из кото­ рых принадлежит М. В. Остроградскому. Мы не можем излагать этих способов, отсылая читателя к специальным руководствам. Что касается и р р а ц и о н а л ь н ы х функций, то вопрос об их интегрировании в элементарных функциях гораздо более сложен. Укажем, например, на следующий результат по поводу интегриро­ вания так называемых «биномиальных дифференциалов». Т е о р е м а П. Л. Ч е б ы ш е в а . Интеграл §x (ax -\-b) dx при рациональных в трёх случаях: l ) р — целое, т, п и р выражается 2) — ^ целое, 3 ) р-\ элементарно jцелое. только m n p Мы не можем входить в дальнейшие подробности по затрону­ тому вопросу, так же как и рассматривать ещё более сложный вопрос об элементарном выражении интегралов от т р а н с ц е н ­ д е н т н ы х функций. § 5. Определённые интегралы 21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Основным понятием интегрального исчисления является всё же не понятие неопределённого интеграла, а понятие интеграла о п р е д е ­ л ё н н о г о . Оно существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого понятия. I . З А Д А Ч А о М А С С Е С Т Е Р ж н я.* Ещё в п° 1 мы ввели понятия средней плотности стержня и его истинной плотности в данной точке. Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднород­ ного же стержня истинная плотность р меняется от точки к точке. Если определять положение каждой точки М стержня с помошыо