* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 375 нообразных вопросов. Так, например, интеграл \e~**Jx играет важ­ ную роль в теории вероятностей. В теории днффракции света встре­ чаются интегралы * JfsHi.v**/*, J cos л; An;, 1 которые не могут быть выражены через элементарные функции. В исследованиях П. Л. Чебышева по распределению простых чисел существенное значение имеет интеграл J Ниже (в п° 27) мы остановимся на вопросе об обращении с такими интегралами. В свете высказанных соображений приобретает интерес вопрос о выделении таких частных классов элементарных функций, интегралы от которых также выражаются через элементарные функции. При­ ведем важную теорему, относящуюся к этому вопросу: Т е о р е м а . Интеграл от л>0бой рациональной функции a x + aiX - + 0 n a L ... +а п с действительными коэффициентами a и b выражается через рациональные функции, логарифлт и арктангенсы. В самом деле," в алгебре устанавливается, что любая функция вида (5) (с действительными а* и Ь$ представима в форме суммы конечного числа слагаемых следующих 5 тиков: t k 1) V + 4) J% + \ q . 3 ) ( ^ ) Г (^D. ( г > , ) ' где все коэффициенты также действительны, а корни трехчлена х*-\-рх-\-\-q — мнимые. Что касается выражений 1), 2) и 3), то их интегрирование в элемеишрных функциях выполняется по формулам ft —О ft»0 Г —— dx = A In (х — а) + С, - aY~ 1 + C f (х - > d x ~ (I - r) Для интегрирования выражения тина 4) следует числитель его Ах + В разделить на производную знаменателя, т. е. на 2х + р. Представив Ах-\-В А I А \ в форме - у (2х + р) + (В — ^ Р ) • У Д иметь: б ем J С Ах + В ^+рх + А й д Х = А С 2х + р ,( ^ ) х ^ х + ^+[ -ТП} А п В + Р Я А _\ С dx х*+рх + я-