* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

374 ПРОИЗВОДНЫЕ, И1ПТГРАЛЫ И РЯДЫ бы элементарной. Ясно, что и при этом воображаемом положении рациональную функцию — всё же относили бы к "разряду функций элементарных. И тогда интеграл оказался бы интегралом от элементарной функции, не выражаю­ щимся через элементарные. Таким образом, мы видим, что проблема представления того или иного интеграла через элементарные функции получает точный смысл лишь при указании того, какие именно функции приняты за таковые. Расширяя запас элементарных функций, мы можем интег­ рал, не выражающийся через (старые) элементарные функции, пре­ вратить в выражающийся через (новые) элементарные функции. В приведённом только что примере достаточно ввести элементар­ ную функцию 1пдг, чтобы интеграл (3) выразился через неё. Однако, встречаясь с тем или иным интегралом, не выражаю­ щимся через элементарные функции, не расширяют запаса элемен­ тарных функций. В самом деле, снова возвращаясь к нашему при­ меру, мы видим, что, не включая 1пх з число элементарных функ­ ций, мы не будем и интеграл J ш « считать интегралом от элементарной функции. Расширив запас эле­ ментарных функций за счёт введения функции \пх, мы действи­ тельно будем в состоянии найти интеграл (3), но зато у нас по­ явится интеграл (4), для выражения которого потребуется новое расширение класса элементарных функций. Таким образом, путь не­ ограниченного расширения класса элементарных функций оказы­ вается не приводящим к цели. В то же время сколько-нибудь зна­ чительное расширение класса элементарных функций связано с ря­ дом неудобств. Тот исторически сложившийся класс элементарных функций, с которым имеет дело современный анализ, весьма удобен именно потому, что он не очень велик и многочисленные вычисли­ тельные формулы, связывающие функции этого класса, как, например» формулы siu* х -f- cos* х = I , sin (х-\-у) = sin х cos у -\- sin у cos х g = а ~У, х % log (ху) = log х - f log .у, н т. п., легко запоминаются н известны уже выпускникам средней школы. Надо заметить, однако, что многие интегралы, не выражающиеся через элементарные функции, весьма важны для решения самых раз-