* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ИНТЕГРАЛЫ
373
Таким образом,
2) Jarctg * r f * = = * arctg* — § ^ ~ = хъхс\.%х — J - m ( l + **)-[-С. 3) I х соъ х dx = 1 х ds\nx = хъ\х\ х — j s i n xdx=xs\x\ 4) ]"л:в*л: = 5 д : Л * = л:е* — §e*dx=xe* л;-f-cos л:-f- С.
c
— e*-f~ -
20. Общие замечания 'по поводу интегрирования элементар ных функций. Мы уже говорили выше, что у всякой непрерывной функции f(x) имеется первообразная функция. Это обстоятельство следует сопоставить с тем, ч Л существуют непрерывные функции, не имеющие производной. Таким образом, если заниматься лишь вопросами с у щ е с т в о * в а н н я у данной непрерывной функции первообразной и производ ной, то первый из этих вопросов решается всегда положительно, а второй — нет. Иным окажется положение вбщей, если мы будем рассматривать одни только элементарные функции и поставим вопрос о выраже нии их первообразных и производных снова через такие же функ ции. Именно, как мы уже знаем, всякая функция, являющаяся ко нечной комбинацией элементарных функций, не только обязательно и м е е т производную, но эта производная сама также есть конеч ная комбинация элементарных функций. По отношению к проблеме интегрирования дело обстоит совсем не так. Существуют очень простые элементарные функции, п е р в о о б р а з н ы е которых у ж е не в ы р а ж а ю т с я н и к а к о й к о н е ч н о й к о м б и н а ц и е й элементарных функций. Так, например, можно доказать, что ни один из интегралов
JV*V*;,
JJC t g х dx,
j * / s i n Л: dx
%
J
dx,
Г (2)
не выражается конечным числом элементарных функций. Чтобы разобраться в этом вопросе, следует прежде всего ука зать на то, что причисление какой-либо функции к классу «эле ментарных» функций есть вещь довольно условная. В конечном счёте ассортимент функций, которые в настоящее время принято называть элементарными, сложился в значительной степени пол влиянием исторического хода развития математики не только как науки, но и (пожалуй, даже в большей степени) как учебного пред мета. Попробуем представить себе, как обстояло бы дело, если бы историческое развнше шло по-иному, и функция Шдг не считалась