* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

372 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ I I РЯДЫ Последнее равенство можно переписать в равносильной форме f причём произвольная включена (u'v -|- uv ) dx = uv -|- С. r Отсюда, замечая, что u'dx — du, ifdx = dv, получаем: ^ udv = uv — J v du постоянная, в интеграл ^vdu. Формула t (1) в правой части, формулой находившаяся (1) называется интегрирования по частям. Она представляет себой некое тож­ дественное преобразование одного интеграла в другой. Если новый интеграл проще исходного, то формулу применять целесообразно. Всматриваясь в строение формулы (1), мы замечаем, что для её применения к какому-либо интегралу надо подннтегральное выра­ жение представить в форме произведения udv некоторой функции и на дифференциал другой функции dv. В результате же применения формулы (1) у нас появится интеграл от функции v, умноженной на дифференциал du. Иначе говоря, преобразование по формуле (1) состоит в интегрировании одного множителя dv и одновременном дифференцировании другого я. Вообще говоря, каждая из этих опе­ раций может привести к упрощению рассматриваемого интеграла, но чаще всё же это упрощение достигается за счёт д и ф ф е р е н ­ ц и р о в а н и я множителя н. Поэтому некоторым указанием на це­ лесообразность интегрирования по частям может служить наличие в составе подинтегральной функции такого множителя, который упрощается от дифференцирования. Этот множитель и следует при­ нять за и, обозначив произведение остальных сомножителей подинтегрального выражения (включая dx\) через dv. Обратимся к примерам. 1) I=lx*\nxdx. Так как функция In л: упрощается от дифференцирования, то по­ лагаем . dx du——. In х = «, х ' _х?_ хЫх = dv, ~ 4 ' V Функция v — ^- найдена нами с помощью интегрирования *) её дифференциала x*dx. Имея в виду применить тождественное пре­ образование (1), мы не вводим при нахождении v произвольной по­ стоянной, ибо при написании тождества (1) под v мы можем разу­ меть какую угодно о п р е д е л ё н н у ю первообразную для dv. Это следует иметь в виду и в дальнейшем. ') Этот дифференциал есть «часть» подинтегрального выражения. Отсюда и термин «интегрирование по частям».