* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

364 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ (рис. 16), и тогда лг может даже и не быть стационарной точкой. Из сказанного вытекает следующее П р а в и л о . Чтобы найти наибольшее значение функции /(дг) на замкнутом промежутке [а, 6], нужно найти все её точки максимума, лежащие на откры­ том промежутке (а, Ь). Если это суть точки х ,х , ..., х , то иско­ мым наибольшим значением будет наибольшее из конечного множе­ ства чисел 0 х 9 п *5f(xi)> р _ |7 ис в /(*•). .... /(*«), f(a), fib). Отметим один важный частный случай: если в открытом про­ межутке (а, Ь) имеется только одна точка экстремума х* и это — точка максимума, то /(л:*) и будет наибольшим значением f{x) на [а, Ь]. Справедливость этого утвержде­ ш ния ясна из рис. 17. Приведём две задачи конкрет­ ного характера, решающиеся при 5дм помощи изложенной теории. З а д а ч а 1. Имеется прямоуголь­ ш ш ш ный лист жести размером 8 дм X X 5 дм (рис. 18). Требуется вы­ резать по углам листа такие оди­ наковые квадратики, чтобы после Рис. 18. загибания оставшихся кромок по­ лучилась открытая сверху коробка наибольшего объёма. Обозначим через х сторону вырезаемого квадрата. Тогда 0 ^ x ^ 2 , 5 . Очевидно, объём коробки, упоминаемой в условии за­ дачи, таков: V=x{$ — 2х){Ъ — 2дг) = 4 л * — 26JC» + 40л:. Дело свелось к нахождению наибольшего значения этой функции на промежутке |о, 2 у j . Дифференцируя дважды, находим У =12лг« — 52АГ + 40, t г V ' — 2Ах — 52. 2 1 Корни уравнения У * = 0 суть x = 1, х = 3 х . Из них в открытом промежутке ^0,2 ~j лежит только х = 1. Так как V ( 1 ) = — 2 8 < 0 , то при х=1 имеется максимум, и, как указано выше, здесь дости­ гается и искомое наибольшее значение. Итак, сторона искомого квадрата должна равняться 1 дм.