* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

362 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ В тех случаях, когда в стационарной точке дг, существует вто­ рая производная / " (дг,), бывает удобно пользоваться следующим предложением: Т е о р е м а . Если x — стационарная точка, лежащая внутри промежутка [а, Ь], где задана функция, и f (л;,) ^ 0, то в точке х есть экстремум. Это — максимум при f"(x )<^0 и минимум л/ш/"(*/) > 0 . В самом деле, полагая x -\-bx = x получим: t г g t 9 Но f(x ) i = 0, ибо Xt — точка стационарная. Значит, f (x )= l t lim Г ( х ) Пусть для определённости / " С * * ) > 0 . Тогда для малых \х — x \ дробь t достаточно X — Xi также будет положительна. Иначе говоря, для дг, достаточно близ­ ких к дг,, знак числителя f (дг) будет совпадать со знаком знамена­ теля дг — дг . Но тогда производная f(x) при переходе х из про­ межутка {x _ x ) в промежуток (x x ) будет менять знак с — на -|~> а это, как мы уже знаем, обеспечивает при д г = д г , наличие минимума. П р и м е р 1. Исследовать функцию £ t v t if i+1 У = \+х* Здесь У = щ 1 — дг* 0 4-*Т* Приравняв у' нулю, находим стационарные точки д г , = — 1 и je = -f- 1. Определяя знаки У в промежутках (—оо , — 1), (— 1, 4" О a и ( - f - 1 , + o o ) i видим, что знаки эти таковы: — , - { - , —. Значит, при х = — 1 будет минимум, а при дг = - j - 1 — максимум. Замечая,