* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

360 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ О п р е д е л е н и е . Говорят, что функция f (х) имеет при х=х максимум (минимум), если существует промежуток [р, д], содер­ жащий точку лг внутри себя (т. е. р<С.х^<^д) и сам содержа¬ щийся в области задания функции, такой, что для всех х из \p д] оказывается f(x)^f (x ) [/(х)^/(х )]. Объединяющим термином для максимума и минимума служит тер­ мин экстремум ). Полезно подчеркнуть, что по самому определению та точка, в которой функция имеет экстремум, должна лежать внутри про­ межутка задания функции, а не на его конце. Поэтому про функ­ цию, изображённую на рис. 13, нельзя сказать, что она имеет макси­ мум при J = A. Такое ограничение включено в определение экстре­ C мума для того, чтобы к точкам, где есть экстремум, можно было применить теорему Ферма (п° 10). Нетрудно видеть, что эта тео­ рема допускает такую формулировку: Т е о р е м а Ф е р м а . Пусть функция f (х) в точке х —х имеет экстремум. Если в этой точке существует производная f(x ) то необходимо будет f (х ) = 0. Само собой разумеется, что обратное заключение было бы не­ верно: из факта обращения производной в какой-либо точке в нуль совершенно не следует, что в этой точке есть экстремум. Напри­ мер, производная функции у=х , равная у = 3дг , обращается в нуль при лг = 0, но функция у=х? монотонна на всей число­ вой осн. Те точки, в которых производная какой-либо функции обра­ щается в нуль, называются стационарными точками. Геометрически это суть абсциссы тех точек графика функции, в которых касатель­ ная параллельна оси Од:. Вышеприведённая форма теоремы Ферма означает, что точки, где есть экстремум, обязательно должны быть стационарными. Однако при этом заранее надо предположить существование про­ изводной в исследуемой точке. Например, функция 3/ = | J [ (см. C рис. 6) имеет минимум при д; = 0, но это — не стационарная точка, ибо в ней не существует производной. Для изучения функций весьма важно уметь находить точки экстремума. В своей общей постановке задача эта весьма трудна, и мы рассмотрим её лишь для одного частного класса функций. Будем говорить, что функция f(x) входит в класс К([а, Ь]), если она обладает следующими свойствами: 1) Функция f(x) задана на [а, Ь] и во всех точках этого про­ межутка имеет производную ) f(x). 2) Производная f (х) непрерывна на [а, Ь]. 0 0 f q е 1 е e t 0 ъ р а 9 *) Слова «максимум», «минимум» и «экстремум» по-латыни означают со­ ответственно «большее», «меньшее» и «крайнее» (подразумевается «значение функции»). •) Отсюда уже вытекает непрерывность функции f(x).