* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНЫЕ 359 Рассмотрим функцию /(х) = 2 sirrjf -f- tg х — Зх; её производная имеет вид f(x) = 1 2cos jc — 3COS JC4-1 COS X " cos* X (2 cos* x — 2 cos*x) + (l— cos x) (1 — C S C (1 + cos x — 2 cos JC) OJ ) C SJ O *C cos J C 2cosx-\8 8 8 a B 8 Здесь 1—cosjc^>0,cos jf>-0 и 1-f-cos.v— 2COS JC=1—cos >;-f-J-COSA;(1 — COSJC)>0 f(x) при 0<^x<у;,поэтому / ( л г ) > 0 , т. е. г 8 S a возрастает, когда х возрастает от 0 до у и, следовательно, /(*)>0 при 0<*<-J. Это и есть требуемое неравенство. Из неравенства (1), в частности, вытекает: sinx~]~igx^>3x т. е. sln*-f t g * > 2 * , 0<дг<у. — sln*>3jc—х=2х, Приём, разъяснённый в рассмотренных трёх примерах, имеет общий характер; с его помощью можно получить многие другие не­ равенства. 15. Экстремум функции. Вообще говоря, те функции, с кото­ рыми приходится иметь дело на практике, не являются монотонными во всей области своего существования. Обычно графики их имеют вид вроде изображённого на рис. 13. Рассматривая график рис. 13, мы видим на нём ряд характерных точек В, С, D. Е, F, G. Значе­ ние функции, изображае­ мое каждой из этих то­ чек, не будучи наиболь­ шим или наименьшим сре­ ди всех значений рё на промежутке [a, А], является всё же таковым по сравнению со всеми значениями её для достаточно близких значе­ ний аргумента. Так, например, значение функции для х = Ь, изобра­ жаемое точкой В (или ординатой ЬВ) является наибольшим на промежутке [а, с]. В связи с этими наблюдениями дадим 9