* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
358 ПЛЖМ ОО И
П О З О Н Е И Т ГА Ы И Р Д Р ИВ Д Ы , Н Е Р Л ЯЫ
2*-' (1 + * * ) - ( ! +xY=f{x)\
х
очевидно, что Г(х) = 2*>- px - —p
1 p l
(1 -\-ху- =р[(2ху
1
— (1 + * ) - ] < 0
р |
при 0 < д г < 1 и / > > 1 (так к а к 2 х < 1 + л : и ( г л г ^ - ^ О Поэтому f(x) убывает при возрастании х и, следовательно, /(*)>/(!)
Р 1
при
Р
0<дг<Ь
Замечая, что / ( 1 ) = 2 ~ • 2 — 2 = 0 , получим: / W > 0 при 0
0 , *>0). П р и м е р 3. Докажем следующую теорему Гюйгенса: если р и Р — периметры правильных я-угольников, вписанного в окруж ность радиуса R и описанного около неё, то
п
п
Заметим сначала, что p = 2RnslnZ.
n
и
P =
n
2Rntg^;
поэтому
и неравенство принимает вид
Установим более общее неравенство 2sinA;-f-tgJt>3x, ° 0 < у >
( 1 )
откуда и будет следовать теорема Гюйгенса,
