* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНЫЕ 339 К этим кратким замечаниям следует добавить ещё несколько соображе­ ний. Именно, как мы видели выше, приращёАие Ду дифференцируемой функ­ ции у = / ( х ) , вызванное приращением Ах аргумента х, можно представить в форме Ду.=/Ч*)Л*+Р, (21) где р стремится к нулю быстрее, чем Дх. Нечто подобное имеет место и для функций нескольких переменных. Пусть, например, z=f(x, у) есть функция аргументов х и у, имеющая частные производные fx (х, у) и f' (х, у) во всех точках некоторого квадрата а<х(х, у) Ду + р, (22) где х и у суть исходные значения аргументов, а р стремится к нулю быстрее, чем | Дх | +1 Ду |. Доказательство этого утверждения будет приведено в п° 11. Выражение dz=fx(x, у) Дх+/1г(х, у) Ду называется полным дифференциалом функции / ( х , у). Оно является линей­ ной функцией Дх и Ду и воспроизводит соответствующее им приращение hz с точностью до бесконечно малой р порядка высшего, чем | Дх | -j-1 Ду |. Таким образом, здесь имеется полная аналогия, со случаем функции одного аргумента. Единственное отличие, которое здесь имеет место, состоит в том, что для справедливости формулы (21) достаточно было, чтобы производ­ ная / ' (х) существовала только при том значении аргумента х, к которому прибавляется приращение Дх, в случае же двух переменных существования частных производных /£(х, у) и f' {x у) в одной лишь точке (х, у) недо­ статочно ) для справедливости формулы (22), а приходится требовать их существования и непрерывности в целом квадрате, содержащем эту точку внутри себя. 1 y 9 § 2. Важнейшие теоремы о производных 10. Теоремы Ферма и Ролля. В п° 2 мы уже старались выяс­ нить большое принципиальное значение понятия производной. В даль­ нейшем мы увидим, что с помощью этого понятия удаётся разре­ шать разнообразные и важные задачи конкретного характера. Однако для этой цели придётся изучить понятие производной более обстоя­ тельно. Выяснению важнейших свойств производной и будет посвя­ щен настоящий параграф. Начнём с важной теоремы, обычно связываемой с именем П. Ферма *). ) Как мы видели, функция / ( х , у) может в точке (х, у) иметь обе про­ изводные / (х, у) и /у(х у) и в то же время быть р а з р ы в н о й . Ясно, что в этом случае формула (22) не справедлива. ) В действительности, Ферма не вводил понятия производной. Настоя­ щая теорема представляет собой уточнение не вполне отчётливых сообра­ жений Ферма. х г л 1 22*