* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

336 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Таким образом, не прибегая к комбинаторике, бином Нью­ тона можно получить в качестве одного из применений произ­ водных. Вообще дифференцирование является мощным средством для вывода тождеств. Так, например, из тождества посредством однократного дифференцирования получаем новое тож­ дество: l _ | _ 2 x + a * + . . . - f лУ = (1-х) — • a 1 1 3 С понятнем производной высшего порядка связано понятие диф­ ференциала высшего порядка. Мы видели, что дифференциал dy = =y dx зависит от двух величин — точки дифференцирования х и приращения dx = &х (в настоящий момент мы считаем х независи­ мой переменной). Закрепив dx, мы превращаем dy в функцию одного аргумента х. Дифференциал этой новой функции и называется вто­ рым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) функ­ ции у . Он обозначается через (Ру [или, если у = / ( л : ) , — через d*f(x)]. Согласно определению для нахождения этого дифференциала надо найти производную функции dy и результат умножить на dx. Этот последний множитель dx, строго говоря, мог бы быть и отличен от того множителя dx, который участвовал в составлении диффе­ ренциала dy=y'dx. Однако (это новое соглашение!) эти множи­ тели выбираются равными. Поэтому а r d%y = d (dy) = d (y'dx) = {y'dx)'dx=y" 9 (dx) . a 1 9 Квадрат (dx) принято обозначать коротко через d x (хотя это обозначение иной раз может \\ привести к недоразумениям, ибо dx можно принять за d ( x ) , т. е. за дифференциал функции х ) . По­ этому окончательно: d?y =y"dx\ a 9 Дифференциал этой функции (где снова dx закрепляется и вновь вводимый множитель dx принимается равным закреплённому) назы­ вается третьим дифференциалом функции у и обозначается через d y. Ясно, что d*y=y'"dx . 3 li Аналогично этому, дифференциалом порядка п-\-1 называется дифференциал от дифференциала порядка п, причём попрежнему dx закреплён и взят одним и тем же для всех дифференциалов от 1-го до (л-|-1)-го порядков.