* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНЫЕ 327 7. Дифференциал. С понятием производной тесно связано поня­ тие д и ф ф е р е н ц и а л а , от которого и происходит название диффе­ ренциального исчисления. Чтобы выяснить сущность понятия дифференциала, рассмотрим функцию у=/(х), заданную в открытом промежутке (а, Ь) и имею­ щую в некоторой точке х этого промежутка производную y=f'(x). Придадим аргументу приращение Длг, отличное от нуля и такое, что х-\-£х ^ (а, Ь). Пусть соответствующее приращение функции будет Л в К а к мы видели в предыдущем п°, справедлива формула Ау=У&х-\-аАх, где О стремится к нулю вместе с Ах, Е Полагая а л = р, Дг мы видим, что при бесконечно малом Ах переменная р также есть бесконечно малая величина и притом с т р е м я щ а я с я к н у л ю б ы с т р е е , ч е м Дд; в следующем точном смысле слова lim / - = 0. Вообще, если мы имеем две бесконечно малые величины Х и н , , связанные между собой так, что l i m — = 0, то говорят, что X есть бесконечно малая б о л е е в ы с о к о г о по­ р я д к а , чем jx. Таким образом, величина р есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Ах. Грубо говоря, это означает, что при весьма малых Длг величина р будет ещё во много раз меньше, чем Длг. Поэтому при малых Дд: величиной р = аДдг часто бывает возможно пренебречь, что приводит к приближённой формуле Дуя^уДдг. Эта формула показывает, что с точностью до малой высшего (сравнительно с Дд;) порядка приращение функции Ду оказывается прямо пропорциональным приращению аргумента Ад;. При этом коэффициентом пропорциональности здесь служит производная У (вычисленная при том значении аргумента х к которому прибав­ ляется приращение Ах). Произведение УДЛ; (которое лишь приближённо равно прираще­ нию Ау) и называется дифференциалом функции у в точке дг, соот­ ветствующим приращению аргумента Ад:. Таким образом, точное определение дифференциала таково: дифференциалом функции у=/(х) в точке<х соответствующим приращению Ах, называется 9 ш