* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНЫЕ 309 |/лГ в точке х (х ^> 0), П р и м е р 3. Найти производную функции^ = Не вдаваясь в пояснения, получаем: у= Ау * д = i / х , у -\- Ду = \Гх+ Ьх-tfx ^ + Длг, = х Д у = \fx-\- ДА:— \Гх, 1 1 |/ --|_Дх+т/"х ' ^ 2]/"*" Всякую функцию у = / ( д г ) можно изобразить графически. Сде­ лав это, поставим вопрос о проведении касательной к полученной кривой (т. е. к графику функции). Этот вопрос мы рассматривали в n° 1. Сопоставляя полученное там выражение (II) с определением производной, получаем важное предложение: Т е о р е м а . Производная y = f (лг) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику дифференци­ руемой функции, проведённой в точке, абсцисса которой есть точка дифференцирования. Общенаучное значение производной довольно отчётливо высту­ пает в первой из рассмотренных выше задач. "Действительно, в этой задаче выясняется, что в том случае, когда дифференцируемая функ­ ция представляет собой путь, пройденный движущейся точкой, а независимая переменная есть время, то производная представляет собой скорость движения. Но в любом процессе, в котором приходится рассматривать две связанные между собой и изменяющиеся величины х и у, можно говорить о скорости изменения одной из них по отношению к дру­ гой. Нетрудно видеть, что точной характеристикой скорости изме­ нения у по отношению.к х как раз и будет производная у\ Нет надобности говорить о том, насколько часто в науке при­ ходится иметь дело с подобной скоростью изменения одной вели­ чины по отношению к другой. Например, если х есть в р е м я , г у — к о л и ч е с т в о э л е к т р и ч е с т в а , протекшего через сече­ ние проводника за время х, то у' будет не что иное, как с и л а т о к а . Легко увеличить число примеров такого рода. 3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние про­ изводные. Производная выше была определена как п р е д е л неко­ торой переменной величины. Однако ведь не всякая переменная величина стремится к определённому пределу. В связи с этим и не всякая функция имеет производную. Легко показать, что для нали­ чия производной у какой-либо функции необходима н е п р е р ы в ­ н о с т ь этой функции. В самом деле, справедлива Т е о р е м а . Если у функции y=f(x) в точке х существует производная ) , то в этой точке функция непрерывна. r 1 ) В этом случае говорят, что функция у=/(х) дифференцируема в точке х. (Выше мы употребляли выражение «дифференцируемая функция» в несколько ином смысле, понимая под ним функцию, которая подвергается, процессу дифференцирования.) 1