* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 291 ству 1°. Свойство же 2° следует из того, что L есть предельная точка Е. Т е о р е м а . Вся/сое ограниченное сверху бесконечное числовое множество Е имеет верхний предел. В самом деле, производное множество Е непременно замкнуто (см. § 37, стр. 163); следовательно по предыдущему оно имеет наибольший элемент. Верхний предел бесконечного множества не превышает его верхней границы: L^G. (55) В противном случае, т. е. при допущении L ^ > 0 , свойство 2° верхнего предела и свойство 1° верхней границы оказались бы в противоречии. Легко понять, что в соотношении (55) должен стоять знак не­ равенства или знак равенства, смотря по тому, является ли верх­ няя граница изолированным элементом множества Е или его пре­ дельной точкой. Следующие понятия, отношения и теоремы вполне аналогичны изложенным выше. Условие х J> m,. (56) предполагаемое выполненным; для всех элементов множества Е, означает, что это множество о г р а н и ч е н о с н и з у . Если число т таково, что 1° х^т для всякого элемента х из Е, 2° х = т хотя бы для одного элемента х из Е, то оно называется наименьшим элементом Е (иначе, ми­ нимумом). Число g называется нижней границей (или нижней гранью) множества Е, если справедливо следующее: 1° x^g для всякого элемента х из Е, 2° как бы мало ни было е ( > 0 ) , x<^g-\-e хотя бы для од­ ного элемента х из Е. Если множество Е имеет наименьший элемент т , то т есть вместе с тем нижняя граница g: g = m. (57) 0 0 0 0 0 0 0 0 Т е о р е м а . Всякое непустое ограниченное снизу числовое мно­ жество имеет нижнюю границу. Нижняя граница есть одно из двух: или наименьший элемент множества Е, или наибольшее из чисел т, удовлетворяющих неравенству (56) для всех х из Е. Вместе с тем g есть одно из двух: или изолированный наименьший элемент множества Е, или предельная точка этого множества. ю*