* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

290 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО и т. д. Отсюда ясно, что в любой окрестности точки G имеется бесконечное множество различных точек Е, т. е. G есть предельная точка множества. Отнюдь не исключено, конечно, что верхняя граница G множе­ ства есть одновременно и наибольший его элемент (не изолирован­ ный) и его предельная точка. Примерами могут служить: точка 1 в случае промежутка [0, 1] или та же точка в случае множества, составленного из точек вида 1 — — (п — натуральное) и еще точки 1. Всякое замкнутое множество Е содержит наибольший элемент. Именно наибольшим элементом замкнутого множества Е является его верхняя граница G. В самом деле, мы только что доказали, что G есть или изолиро­ ванный наибольший элемент множества Е или его предельная точка. Но если G есть предельная точка £*, то G есть элемент про­ изводного множества Е' и раз множество Е' замкнуто (т. е. Е* с^-Е, см. § 60), то G должно быть также элементом Е. Мы можем теперь обратиться к понятию верхнего предела мно­ жества, ограниченного сверху. Число L , связанное с данным множеством £*, ограниченным сверху, называется верхним пределом этого множества, если оно обладает свойствами: 1° Как бы мало ни было е ( ^ > 0 ) , неравенству J C < ^ L - | - e удовле­ творяют «почти все» элементы Е (т. е. все, кроме, можег быть, конечного их числа). 2° Как бы мало ни было е ( ^ > 0 ) , неравенству x^>L — Б удовле­ творяет бесконечное множество элементов Е. Конечные множества, очевидно, верхнего предела не имеют. В случае же, если ограниченное сверху множество Е бесконеч­ но, свойства 1° и 2° верхнего предела L множества Е можно охва­ тить следующей строго эквивалентной формулировкой: Верхний предел L множества Е есть наибольшая из предельных точек этого множества (т. е. наибольший элемент производного множества £*). Действительно, из условий 1° и 2° вытекает немедленно, что в любой окрестности точки L содержится бесконечное множество элементов множества Е, так что L есть предельная точка Е. Вме­ сте с тем L — наибольшая из предельных точек Е, так как существо­ вание еще одной предельной точки L \ большей чем L, противо­ речило бы условию 1° (если бы е было выбрано меньшим, чем V — I). Обратно, если L есть наибольшая из предельных точек Е, то условие J t < ^ L - | - e может не быть выполнено лишь для конечного множества точек из Е: иначе по теореме Больцано-Вейерштрасса (см. § 36, примечание 2) множество Е имело бы хоть одну предельную точку V такую, что V ^ L е. Таким образом мы приходим к свой-