* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 1 287 число, заключённое между f(x") и наименьшим нз чисел /(х ) и f (Ь). Это же самое рассуждение было бы пригодно и при допущении а = х'. Так как случай 2) вполне аналогичен случаю 1), то теорему следует считать доказанной. § 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей.'Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей Среди прочих множеств числовые множества (т. е- множества д е й с т в и т е л ь н ы х чисел) резко выделяются свойством быть «упорядоченными» естественным образом — по величине: относи­ тельно каждых двух различных элементов числового множества х и у всегда можно сказать, которое из двух соотношений порядка х<^у или х^>у будет справедливым. Мы пользуемся в дальнейшем обыкновенной метрикой, в которой рС*. У) = \х—У\. Пусть множество £ о г р а н и ч е н о с в е р х у : это значит, что суще­ ствует такое число Ж, что всякое число х из Е меньше, чем М: х<М. 0 (54) Если множество Е ограничено сверху и число М обладает свой­ ствами: 1° х*^М для всякого элемента х из Е, 2° х = М хотя бы для одного элемента лг„ из Е, то число М есть н а и б о л ь ш и й элемент из Е (иначе, м а к с и ­ мум). Не всякое ограниченное множество содержит наибольший эле­ мент. Об этом свидетельствуют примеры, отчасти нам уже знакомые: открытый справа промежуток (0, 1) или [0, 1), множество правиль­ ных рациональных дробей, множество чисел вида 1 — или мно1 1 жество чисел вида 1 (где т и п — натуральные числа) и т. п. Число G, связанное с данным ограниченным сверху множеством Е, называется верхней границей (или верхней гранью) множества Е если оно обладает двумя свойствами: 1° x^G для всякого элемента х из Е, 2° как бы мало ни было е ( > 0 ) , x^>G— е хотя бы для одного элемента х из Е. Очевидно, множество Е не может иметь д в у х р а з л и ч н ы х верхних границ. В самом деле, если бы Е имело верхние границы G, и G , причём было бы, например, G <^G то для некоторого эле­ мента мы должны были бы иметь неравенства ь 0 0 п 9 a t if *>G e —Е и Ж О»