* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 279 Обратно, всякое связное множество точек на числовой оси является промежутком (конечным или бесконечным, замкнутым или незамкнутым, или «полузамкнутым», т. е. замкнутым лишь с одного конца; см. выше пример 12). Множество erf в пространстве 37, связное и замкнутое в этом пространстве, называется континуумом. Итак, если под пространством 37 понимать «одномерное евкли­ дово пространство», т. е. числовую прямую с обычной метрикой, то в этом пространстве континуумы исчерпываются замкнутыми промежутками. В «двумерном евклидовом пространстве», т. е. на плоскости с обычной метрикой, имеются более разнообразные типы континуу­ мов: сюда относится, например, всякий квадрат со включением сто­ рон и вершин или еще всякий круг со включением контура (окруж­ ности). § 61. Непрерывные отображения и их свойства Пусть топологическое пространство 37 отображено на тополо­ гическое пространство У. Условимся через. Y=f (X) обозначать тот элемент У, который соответствует элементу X пространства 37. Если erf есть некоторое множество элементов 37, то через / (orf) условимся обозначать совокупность элементов множества У, соот­ ветствующих элементам множества erf. Отображение У= /(Х) называется непрерывным ношения вытекает соотношение f(X )^f(X); n относительно элемента X, если из соот­ х п ^ х оно называется непрерывным на множестве erf, если непрерывно относительно любого элемента множества orf. Установим несколько свойств непрерывных отображений. Т е о р е м а 1. Если множество erf (с= 37) связно и отображе­ ние У=/ (X) непрерывно на множестве erf, то множество е5? = / (erf) (сз: У) также связно. Будем доказывать от противного. Пусть <Ш не связно. Тогда существуют такие множества <Ж и @А^, что 1) eff = cS-}3) ъГ, 2) aM&V + <М*4Г -\- <Л'&<Г — О, <Ж ф О, ф 0.