* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 269 удовлетворяет бесконечное множество элементов последовательно­ сти \А \, то элемент Л называется предельным элементом (или тонкой) этой последовательности; если, больше того, этому нера­ венству удовлетворяют «почти все» элементы последовательности, т. е. все, начиная с некоторого номера (n^>N ) или все, кроме ко­ нечного их числа, то говорят, что элемент А есть предел последо­ вательности \А ]. В последнем случае пишут: А ~->А или lim А = А. п e t п п п Последовательность элементов пространства не может иметь более одного предела. В самом деле, из соотношений А -*А и Л - > Л ' следует, что при любом е ( ] > 0 ) и п р и достаточно больших значениях п справед­ ливы одновременно неравенства п П р(Л„,'л)< е и р(,4„, Л ' ) < е , и отсюда (по свойствам «расстояний» 3° и 1°) вытекает: Р ( А Д ' ) ^ Р ( А л„) + ( Л „ , А') = Р = р(А , п Л) + р(Д„, Л ' ) < е + е = 2е. Но е сколь угодно мало; следовательно, р(Л, Л') = 0, и потому (по свойству 2°) А' совпадает с Л. Последовательность {Л }, имеющая предел, называется сходя­ щейся (к соответствующему пределу). Последовательность {А } называется ограниченной, если огра­ ничена числовая последовательность {р(Л„, Л')}, где А' — некото­ рый элемент 3 . Понятие «ограниченная последовательность» не за­ висит от выбора элемента Л', так как, если ограничена после­ довательность {р ( Л , Л')}, то ограничена и последовательность {р(Л„, А")} (и обратно). Действительно, пусть л п я р(Л„, Л ' ) < Ж Полагая ( л = 1 , 2, 3 , . . . ) . р(Л', А") = т, будем иметь (по свойству 3°): р (А , А") р (А , А') + р (А', А") < М + т. Возникает вопрос: верно ли, что всякая ограниченная последовательность {А } непременно должна иметь предельный элемент? Всегда ли возможно, дру­ гими словами, обобщение теоремы Больцано-ВеЙерштрасса (§ 36) на про­ извольные метрические пространства? Ответ на этот вопрос — отрицательный. Теорема Больцано-Вейерштрасса не распространяется, например, на пространство непрерывных функций, с «равномерной» метрикой, определяемой по формуле (26). В самом деле, рас­ смотрим хотн бы последовательность функций п п п {sitinx}. (31)