* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 229 Какова бы ни была функция f(x), непрерывная в замкнутом ') промежутке I(a^x^b), можно указать такую последователь­ ность многочленов { Р (х) } , которая в промежутке I равномерно сходится к f(x). Итак, проблема представления данного «графика» посредством «уравнения» имеет т о ч н о е решение п f(x) = \\m и приближённое решение f(x)~P (x), n Р (х) п причём возможная погрешность \Р (х)—/(#)[ не превышает числа Р (Рп* f) = I Рп ( ) — f( ) I * зависящего от х и стремящегося к нулю при оо . п m a x х x н е Остриё всякого пишущего инструмента (карандаша, пера, куска мела) — не точка, и «реальный» график — след, остающийся на бумаге, при движе­ нии пишущего инструмента — не «идеальная математическая кривая», а «полоса», имеющая некоторую «ширину». Поэтому, несколько упрощая, можно сформулировать теорему ВеЙерштрасса и таким образом: Как бы ^извилист* ни был донный ^реальный* график, проведённый годном движением* пишущего инструмента (см. рис. 89), всегда можно найти рациональный многочлен, график которого «.совпадает* с данным графиком. Возвращаясь к точной формулировке, нужно заметить, что после­ довательность многочленов { Р (х) \ определяется не однозначно. Различные доказательства теоремы, предложенные различными авто­ рами, приводят к тому или иному приёму построения приближающей последовательности. п Первоначально данные доказательства не были общедоступными. Мы приведем ниже, в свободном изложении, доказательство советского ученого, академика С. Н. Бернштейна, предложенное им в 1912 году. Будучи вполне элементарным, оно потребует, впрочем, некоторой предварительной подготовки. Предположим, для простоты, что речь идёт о промежутке 1. Многочлены Бернштейна последовательно возрастающих степе­ ней обозначаются через В (л;). Они имеют вид: Л п В (х) п = 2 /(^)СпХ (1 - х ) - , т п т (36) т= 0 где через С™ обозначены биномиальные коэффициенты " с условием полагать 0 ! = 1 . и ~т\(п—т)\' ) Существенное предположение.