* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

220 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Перейдем в нём к пределу (при я - > о о ) . Принимая во внимание что по свойству непрерывности функции f(x) в точке х = Ь /<* )-/(Е) Рп и притом вследствие (18) УРп^ мы получим: откуда следует: что и требовалось доказать. Заметим, что теорема о наибольшем значении неверна, если от­ бросить требование замкнутости промежутка. Примером может слу­ жить та же функция f(x) = — в промежутке 0 < ^ л г * ^ 1 , или, ещё х проще, функция f(x)=x в промежутке 0 ^ J C < ^ 1 . Она неверна также, если отбросить требование непрерывности функции / (лг). Примером может служить функция, определенная равенствами ( х при 0 = s £ . x ; < l , = { П 1 I 0 при х=1. Эта функция, имеющая разрыв в точке х=1, не имеет наиболь­ шего значения в замкнутом промежутке, в котором она определена. Теорема IV (о « р а в н о м е р н о й » непрерывности). Если функция f(x) непрерывна в замкнутом промежутке I, то при всяком е ( ^ > 0 ) можно указать такое число 8 = 8 , ( > 0 ) , что, каковы бы ни были числа xf и х" из I, неравенство — *"1<8 влечёт за собой неравенство ,/(дг')-/(У';|< . Е (19) (20) Предоставляем читателю обдумать геометрический смысл этой теоремы. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть теорема неверна: пусть не со вся­ ким положительным числом е можно сопоставить число 8, обладаю­ щее указанным свойством. В таком случае существует некоторое положительное число е*, обладающее тем свойством, что, как бы мало ни было 8 ( ^ > 0 ) , можно указать такие числа xf и xf' из I, что неравенство К - * " [ < « выполняется, а неравенство |/(*')-/(.v") j