* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

204 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В дальнейшем запись А (*) - * / ( * ) или Пт/ (х) п 1 9 =f(x) будет использована только для случая Е = 1 т. е. при допущении, что сходимость к конечному пределу имеет место во в с е х точ­ ках рассматриваемого промежутка. Рассмотрим несколько примеров, в которых роль промежутка / будет играть вся действительная ось — о о < л ; < ^ - | - о о . П р и м е р 1. Пусть дана последовательность функций \f (х)\ где n 9 /n(*) = ( l + v ) " < я = 1 ' % 3 "">- Рассмотрим три случая: 1° л г = 0 . В этом случае, очевидно, /„(•*;)->• 1. 2° дг]>0. Считая х постоянным, положим п —= и • > X п * так как a> -voo, то на основании § 44 (пример 3) и в силу непре­ рывности степенной функции n 3° л ; < [ 0 . При этом предположении мы получаем, сделав ту же подстановку, ш —> — оо, и потому снова (см. конец § 44) п Итак, во всех случаях мы имеем: /(х) = lim / „ (JC) = lim ( l + £.)" =e*. (5) В этом примере сходимость имеется при всех значениях лг, и функция, получающаяся при переходе к пределу, — элементарная. П р и м е р 2. Положим f (x) = x ( л = 1 , 2, 3 , . . . ) . Последо­ вательность n n ^ J~ ОС j ОС , X ,а•., Х^, •. . (см. § 37, п. 5 и § 39, п. 5) сходится к пределу 0 при условии — 1 < С # < М , сходится к пределу 1 при J C = 1 , расходится к -[-оо при д г > 1 и вовсе не имеет предела при д : ^ — 1 . Таким образом, можно сказать, что в данном случае совокупность точек Е (область сходимости) есть промежуток от — 1 до -f- 1» включением пра­ вого конца, но без включения левого; совокупность Е — промежу­ ток от 1 до оо, без включения левого конца; совокупность Е —• промежуток от — о о до — 1 , со включением правого конца. Пре­ дельная функция f{x) = lim xf «определена», «задана», «сущех с 0 9 ъ 1