* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 203 Может случиться, что некоторые из таких числовых последова­ тельностей \/ (х )\ имеют предел, и притом конечный; этот пре­ дел, вообще говоря, зависит от выбора точки х ; обозначим его через /(лг ). Сказать, что в промежутке I последовательность \f (х)} стремится к пределу f(x) п п 0 0 n /яМ-^/(4 (4) означает, по определению, то же самое, что констатировать на­ личие предельного отношения (в собственном смысле — см. § 38) Л (*о)-•/(*<>) для каждой точки х из промежутка /. Нужно сразу же заметить, что символ f(x) вовсе не обязательно обо­ значает элементарную функцию (см. § 1). В самом деле, на основании пре­ дыдущего с каждым значением х из промежутка I с о п о с т а в л я е т с я по особому правилу некоторое число у = / (х); но упомянутое правило подразу­ мевает выполнение, кроме элементарных операций, ещё операции перехода к пределу (для случая числовой последовательности), и вовсе ни откуда не следует, чтобы тот же результат мог быть получен без этой операции. Та­ ким образом, если предел последовательности (1) мы станем трактовать как функцию числового значения переменной х, то следует заранее считать не исключённым, что функция эта уже не является элементарной, а есть функ­ ция в более общем, расширенном смысле слова. Дальнейшие примеры пока­ жут характер получающихся этим способом функций. 0 Если не делать предположения, что при любом числовом зна­ чении х=х из рассматриваемого промежутка / последователь­ ность (1) стремится к конечному пределу, то в зависимости от выбранного значения дг возможны три различных случая: 1) или эта последовательность имеет конечный предел, 2) или ее предел бесконечен (-{- оо или — оо), 3) или она не имеет предела. Обозначим соответствующие совокупности (множества) точек х=х через Е Е и Е \ каждая точка из / принадлежит одной и только одной из этих совокупностей. Символ f(x ) имеет смысл в том случае, если точка х принадлежит совокупности Е ; эта совокупность носит название области сходимости последователь­ ности (1) (в пределах промежутка / ) . Если х принадлежит £ , то символ /(JC ) не имеет никакого смысла; если же лг принадлежит Е , то возможна была бы запись 0 0 ь и % ъ 0 0 г 0 э 0 0 % /(*©) = + * > и л и /С*о) = — оказы­ но она не принята ' ) . Итак, в общем случае функция f(x) вается з а д а н н о й лишь в точках совокупности E v х 0 а ) Тем не менее случаи, когда JC принадлежит Я или принадлежит Е , конечно, существенно различны. я