* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВ\ТЕЛЬНОСТЕЙ II ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 189 Ни в одном из примеров 1 7 § 4] функция f (х) не является непрерыв­ — ной в точке х = 0, и именно по следующим причинам: в примерах 1, 2, За L ф11\ значит, L не существует, в примере 36 L существует, но не конечно, в примерах 4 и 5 L' и lT не существуют, в примерах 6 и 7 L существует и конечно, но функция не задана точке х = 0. Впрочем, все приведённые примеры имеют то общее, что ни в одном из них функция не з а д а н а в рассматриваемой точке: этого обстоятельства достаточно, чтобы функция в ней не могла быть признана непрерывной. в В приведенном выше определении непрерывности функции f(x) в данной точке с используется понятие предела: предел функции в рассматриваемой точке равен ее значению в этой точке. Можно, однако, избегнуть упоминания о пределе, раскрывая содержание этого понятия в самой формулировке определения непрерывности. Так мы приходим к определениям, которые строго эквивалентны сформулированным выше: 1. Функция f(x), заданная в некоторой окрестности точки х = с, непрерывна в этой точке, если, какова бы ни была последователь­ ность \ х } , обладающая свойством п х ^с, ) п 1 (85) л непременно последовательность | / ( л г ) } сходится к пределу /(**)-*/(*) (86) (определение Гейне). 2. Функция /(лг), заданная в некоторой окрестности точки х = с, непрерывна в этой точке, если, как бы мало ни было число е ( ^ > 0 ) , можно указать такое 8 = 8 , что из неравенства * е |лг- |<8 ) С 4 (87) (88) следует неравенство |/c*)-/(«)io («эпсилонное» определение Коши). С понятием непрерывности функции в данной т о ч к е связы­ вается понятие непрерывности функции в данном п р о м е ж у т к е . Говорят, что функция непрерывна в некотором промежутке ), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. 3 Например, функция /(дг) = Д- непрерывна в промежутке 0 < [ л : ^ 1 (если не включать начальной точки лг = 0), но она не является не­ прерывной в промежутке 0 ^ л ; г ^ 1 (если включена точка лг = 0), так как не задана в точке л: = 0. *) Необходимость ограничения х фс здесь уже отпадает. 8) Ограничение хфс излишне. •) Промежуток может здесь включать или не включать начальную и конечную точки, или включать одну из них. п