* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

156 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГф Это совершенно ясно геометрически. Аналитическое доказатель­ ство также несложно. Пусть точки прогрессии имеют вид fl + fe и пусть ~\~(Р— тогда с помощью условия m^>d с — m^a-\-pd—т<^а-\c-f- m^a-\-(p— так что с — m<^a-\-(p— 1) d < [ a pd < [ c m. Теперь мы сформулируем основную теорему этого параграфа. Какова бы ни была ограниченная бесконечная последовательноешь {a }=a a a , ... , а, ... , (29) n v i9 3 п а —0* (— ^ < + <») l)d^c^a-\-pd; получаем pd — d = a-\-(p— = \)d, apd, l ) d - | - m > a - f - ( p — I) d-\-d всегда существует по меньшей мере одна точка с» обладающая тем свойством, что в любой её сколь угодно малой (по длине) окрестности имеется бесконечное множество точек последова­ тельности (29). Доказательство этой теоремы базируется на следующем очевид­ ном принципе, который мы формулируем для большей наглядности следующим образом: если в конечном числе ящиков разложено бесконечное множество предметов, то хотя бы в одном ящике окажется бесконечное множество этих предметов. Обращаясь к доказательству теоремы, условимся прежде всего, что если среди чисел а будут встречаться отрицательные, то мы будем записывать их в виде десятичных дробей с отрицательными характеристиками, но положительными мантиссами, например п — 4,52038 . . . =5,47961 Все члены последовательности разбиваются на классы («распре­ деляются по ящикам»), смотря по характеристике, т. е. по тому, какое число целых единиц стоит в соответствующей записи слева от запятой. Число таких классов — конечное, так как последова­ тельность \а \ — ограниченная, и потому все числа а заключены между двумя какими-то числами т и М: п п т<а <ЛГ я (п = 1, 2, 3, . . . ) . Не ограничивая общности, можно считать числа т и М целыми. Наших классов, или «ящиков», — столько же, сколько различных характеристик т, m - f 1, /я + 2. . . . , М— 1, (30) именно, N—M—т. Так как членов последовательности \а \ бес­ конечное множество, то хотя бы в одном из «ящиков» их окажется П