* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

152 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО {—п\ не имеет наименьшего; последовательность, составленная из целых чисел, { ( — 1 ) л } не имеет ни наибольшего, ни наименьшего. Другое яркое отличие бесконечных числовых последователь­ ностей от конечных связано с понятием ограниченности. Последовательность (все равно какая — конечная или бесконеч­ ная) называется a) ограниченной сверху (говорят также — справа), если все члены её меньше одного и того же числа М: п+1 а <Ж я (п=\, 2, 3, . . . ) , (23) b) ограниченной снизу (слева), если все члены.её больше одного и того же числа т\ а >т п ( л = 1 . 2, 3, . . . ) , (24) c) огрантенной (просто), если она ограничена и сверху и снизу: (n=h 2, 3, . . . ) . (25) т < Х < Ж Всякая к о н е ч н а я последовательность, очевидно, ограничена. В качестве М можно взять любсз число, большее чем наибольший из членов последовательности; в качестве т — любое число, меньшее чем наименьший из членов последовательности. Аналогичное утверждение н е в е р н о для б е с к о н е ч н ы х по­ следовательностей. Примером бесконечной последовательности, не ограниченной сверху, может служить последовательность натураль­ ных чисел \п\; но она ограничена снизу. Напротив, последователь­ ность \—п\ не ограничена снизу. Последовательность { ( — 1 ) я } не ограничена ни сверху, ни снизу. Бесконечные арифметические прогрессии первого порядка огра­ ничены снизу, но не сверху, или наоборот, смотря по тому, будет ли их разность положительной или отрицательной. Бесконечные геомет­ рические прогрессии ограничены снизу, но не сверху, если их знаменатель больше единицы; ограничены и сверху и снизу, если знаменатель заключён между — 1 и — 1; не ограничены ни сверху, — | ни снизу, если знаменатель меньше чем — 1 . Бесконечная последо­ вательность Фибоначчи (10) не ограничена сверху, но последова­ тельность (14) ограничена. Ограничены сверху и снизу все перио­ дические последовательности, а также последовательности 1, 3 и 4 на стр. 151; но последовательность 2 (там же) ограничена снизу, но не сверху. Последовательность п + | не ограничена сверху. Чтобы в этом убедиться, нужно установить, что, как бы велико ни было число М, всегда можно указать такой