* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

150 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Такой же положительный результат можно получить и для произвольной периодической последовательности, с «периодом» р, вц а , г * а , в|. а , -•• j р % flp. » Cp# • * (18) которую можно определить рекуррентным соотношением <*п+р = °п (п=\, 2, 3, . . . ) it lt р с начальными данными — произвольными значениями a a e„, . . . / а . С другой стороны, например, рекуррентная зависимость с начальным условием <7i = l , очевидно, определяет единственную последо­ вательность , ' +Т' +Т+У , 1 , + т +т+-+1 < > 9 1 которую, казалось бы, нет оснований отнести к числу «незакономерных», хотя попсе не ясно, существует ли элементарная функция / (х), удовлетворяю­ щая бесконечному числу условий /(")=l+Y+4+ ••• + 7 ( « = 1.2,3,...). Вместе с тем нужно обратить внимание и на то обстоятельство, что, опираясь на определение последовательностей «аналитическим» методом, мы ставим понятие последовательности в зависимость от допускаемого класса функций f(x). Ограничиваться только классом «элементарных» функций не­ естественно. При дальнейшем же расширении понятие «функция» становится столь эластическим аппаратом, что приобретает способность изображать любую эмпирическую закономерность *), в связи с чем сама идея «закономерности» поднимается, если можно так выразиться, на более высокую ступень. В свете высказанных соображений и приведенных примеров не должен показаться удивительным следующий способ определения бесконечной после­ довательности, который в настоящее время принят в математике. Числовая последовательность \а \ считается заданной, если указано правило, позволяющее по заданному индексу — произвола ному целому положительному числу п — однозначно определить член последовательности а , стоящий на п-м месте. Другими слопами, последовательность \а \ задана, если с каждым целым положи­ тельным числом п сопоставлено (приведено в соответствие) неко' торов число а . Характер правила, устанавливающего соответствие между п и а , безразличен. В простейшем случае «аналитического определения a =f(n) «правило» указывает совокупность элементарных матема­ тических операций, которые нужно выполнить над числом п, чтобы получить число а . Но «правила» могут быть и совсем иные. П п п п п n п *) Яркая иллюстрация этой мысли приведена в § 49.