* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВЛТЕЛЫЮСТЕИ II ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 149 § 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности В дальнейшем, как это общепринято в математике, говоря о после­ довательностях, мы будем всегда иметь в виду б е с к о н е ч н ы е последовательности. Существенное отличие бесконечной последовательности от конеч­ ной заключается в том, что конечная последовательность может быть задана непосредственным перечислением её членов (как бы велико ни было их число), тогда как для бесконечной последова­ тельности такое перечисление принципиально невозможно. С этим положением легко согласится неискушенный читатель и на во­ прос: «чем же в случае бесконечной последовательности можно заменить непосредственное перечисление?» — не замедлит высказаться в том смысле, что бесконечной последовательности должна быть присуща «закономерность», или что должен быть указан некоторый «закон», по которому составляются следующие один за другим члены последовательности; такую же мысль нетрудно найти и во многих литературных источниках. Оспаривать по существу справедливость такого суждения не прихо­ дится; необходимо только подвергнуть более глубокому анализу содержа­ ния понятия «закон», или «закономерность», принимая во внимание, что подобного рода термины (способные оказывать сильное, так сказать, гип­ нотизирующее воздействие) не всегда находят для себя место в лексиконе математика. Тот, кто спешит произнести слово «закон», по большей части имеет в виду прежде всего математическую формулу, которая выражала бы общий член последовательности в виде функции индекса, или номера, л. Если над­ лежащим образом уточнить понимание термина «формула», или «элементар­ ная функция» (в том смысле, как это было сделано в § 1), то «указать закон» значит то же самое, что согласно сказанному в § 34 «задать последователь­ ность аналитически», в «замкнутой форме». Этот способ задавать последова­ тельности, конечно, вполне пригоден для бесконечного случая, как и для конечного. Но подобное толкование «закономерности» слишком ограничено, недо­ статочно четко и неустойчиво. Оно, повидимому, не охватывает многих про­ стых «рекуррентных» последовательностей; при этом остается открытым вопрос о том, существует или не существует аналитическое представление последовательности в «замкнутой форме». Во многих случаях подобрать функцию f(x) нетрудно. Так, для последо­ вательности (-1). Ы - 1 ) , I , (-1), 1.... (10) оказывается возможным положить f(x) — cos тех. Более сложным н этом смысле мог бы показаться пример последовательности 1, 0, 0, 1. 0. 0, 1, о, о, (17) 'в (с чередованием одной единицы и двух нуле:!); но и в этом случае вопрос, касающийся функции / (х), решается утвердительно: можно положить, например.