* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

144 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО п 2. Если общий член последовательности и задаётся формулой вида а = Р(п), где через Р(х) обозначен некоторый многочлен (целая рациональная функ­ ция) с т е п е н и /л относительно х, то последовательность {а„} носит- назва­ ние арифметической прогрессии порядка т. Обыкновенной арифметической прогрессии соответствует, таким образом, порядок 1. Приведём примеры арифметических прогрессий высших порядков: п {«*} = !, 4, 9, 16, 25, (порядка 2), {" Y } = 0» 1, 3, 6, 10, ! ( !) (то же), (порядка 3). *} = 0, 1, 4, 10, 20, Легко понять, что если Р(х) есть многочлен степени т, то Р(х+\)-Р(х) есть многочлен степеви т— I . В самом деле, из формулы Р (х) = ах + bx"*- + ... + / {афЪ) следует, что т 1 Р(Х+1)-Р(х)=/7ШХ*- +^ 1 , и здесь тафО. Отсюда ясно, что «последовательность разностей-» {°я+1 — «яЬ составленная из арифметической прогрессии порядка т, есть прогрессия порядка т — 1. Можно было бы также доказать, что «последовательность сумм* {<*1+а* + ...+а }, составленная из арифметической прогрессии порядка т , есть прогрессия порядка т 1 (но мы не будем приводить здесь доказательства). Эти свойства легко проверяются на приведённых выше примерах. Они могут также быть использованы при «продолжении» прогрессии вправо. Например, написав под пятью ранее выписанными членами прогрессии второго п порядка {~~^~2—~} у ю щ и е разности, мы обнаруживаем, что эти разности образуют обыкновенную прогрессию (первого порядка); продолжая её и затем суммируя, получаем продолжение данной прогрессии: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . . 1, 2, 3, 4 5, 6, 1, ... Таким образом, члены арифметической прогрессии любого порядка можно вычислять последовательно с п о м о щ ь ю о д н и х с л о ж е н и й . 3. Г е о м е т р и ч е с к а я рентной зависимостью ~ = q с начальным данным прогрессия определяется рекур­ (7) с 0 0 т в е т с т в ( и = 1 , 2, 3, . . . )