* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

138 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО А это невозможно, так как вследствие равенства' старших коэф­ фициентов рассматриваемых многочленов уравнение (179) — степени ниже чем я. Мы пришли к противоречию; следовательно, сделанное нами допущение о существовании многочлена Р (х) было неверно. Доказанное свойство многочленов Чебышева формулируют обыкновенно так: из всех многочленов Р (х) степени п вида (176) наименее всех «отклоняется от нуля» в промежутке многочлен 1 Чебышева ус-{Т (х). При этом под «отклонением от-нуля» неко­ торого многочлена Р(х) в данном промежутке а^х^Ь следует понимать наибольшее значение | Р ( д : ) | в этом промежутке, иначе говоря, — наибольшую (по абсолютной величине) из ординат соот­ ветствующего графика. Это свойство оказалось отправным пунктом созданной П. Л. Чебышевым (в середине прошлого столетия) теории наилучшего при­ ближения функций. п п п Не останавливаясь подробнее на многочленах Чебышева второго рода (см. § 28, (131)) , , sinnx sin п arccos х Uп у(х) = — = — . r v n ' Sinx у\ _а ' х исследование которых также может быть проведено элементарным методом ), рассмотрим еще подобный же пример д р о б н о й рациональной функции, исследование которой сводится к исследованию дробной тригонометрической функции. Функция, о которой идет речь, имеет вид У = Рп (х) = tg (п arctg х) *). (180) Что эта функция — рациональная, устанавливается методом полной матема­ тической индукции. Пусть R (х) — рациональная. Тогда Pn+i (х) = tg [(« + 1) arctg х] = tg (п arctg х + arctg х) = tg (п arctg х ) + t g (erctg х) _ R (х) + х 1 — tg (п arctg х) • tg (arctg х) 1 — R (х) • х n n 9 n 1 откуда видно, что функция R +i(x) — также рациональная. Но /? (x) = = tg (arctg х) = х—функция рациональная; значит, и все функции R (x) — рациональные. Например: п / ч 2х . . Зх—х , 4(х — х ) n t n в 8 п п ч *) Максимумы и минимумы многочлена U (x) лежат уже не. на гори­ зонтальных прямых у = ± 1, а на кривых _ 1 n *) Выбор значения арктангенса безразличен, так как функция tgnx не изменяется при замене х на х-\-к. Поэтому можно считать, что выби­ раются «главные значения» арктангенса.