* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

128 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО l В первой четверти ip = tgjc>-0 и потому нам нужны лишь положи­ тельные корни уравнения (156). Его левая часть—возрастающая функция ад н, значит, уравнение (156) имеет не более одного положительного корня. Легко проверить, что один корень есть: это ш = 2. Остаётся найти значение х в первой четверти из уравнения tgx = 2. § 32. Обратные') тригонометрические функции В уравнении y = sinx поменяем местами л: и у ; получим (157) (158) x = siny. Записывают также равенство (158) в виде .y = ArcsinAr; (159) равенства (159) и (158) следует рассматривать, таким образом, как равносильные. Обратная тригонометрическая функция Arcsinx (арксинус д: бук­ вально — «дуга, синус которой ранен лг») не является однозначной. Вернёмся к единичному кругу, с помощью которого была опреде­ лена функция синус (см. рис. 44). Каждой данной дуге AM соответствует одно определённое зна­ чение синуса—ордината точки М вертикальный отрезок M Af. Пусть, обратно, в качестве независимой переменной взят некоторый вертикальный отрезок М М (он может быть направлен вверх или вниз, но по длине не должен превосходить единицы). Обозначим его через х: 9 t Х М М=х. г Тогда на вопрос, какая дуга имеет этот отрезок своим синусом, — однозначного ответа дать нельзя. Таких дуг существует бесконеч­ ное множество: требуемым свойством обладает не только дуга АМ но и дуга ABN, а также ABCDAM и ABCDABN и т. д. и ешё «отрицательные» дуги ADCN, ADCBM и т. д. Итак, если функция ArcsinA: имеет значение у, то она имеет значение те—у, а также (вообще) у -|- 2£тс и (тс —у) - j - 2 £ 7 г . Свойство неоднозначности функции ArcsinA: ясно видно и из её графика. Мы знаем (см. § 4), что график уравнения (159) получает­ ся из графика уравнения (157) посредством симметричного отра­ жения относительно биссектрисы у = х (рис. 61). Из графика функ­ ции Arcsinx видно, что при условии | J C | S ^ 1 существует бесконечШ *) См. § 4.