* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 127 Выделив множитель и — 2 многочлена третьей степени, мы легко разло­ жим затем на множители получившийся трёхчлен второй степени би — 13ы + ц + 2 = (а — 2)(6и« — и — 1) = (а — 2)(2и— 1)(Зц+1). 8 в Итак, уравнению можно придать вид (cos х — 2)(2cos х — l)(3cos x + I) = 0. Множитель cos x — 2 никогда не обращается в нуль; значит, уравнение удо­ влетворяется лишь при условии, что 1 _ _ .. 1 cos х = или cos х = —— t откуда получаются два корня 7С 1U и нетрудно найти два остальных (в пределах периода). П р и м е р 7. 3 sin 2х + 4 cos3x — 3 sin 4х = 0. При замене х нате—х левая часть уравнения меняет знак. Поэтому на основании теоремы III б, вводим переменную v=smx. Тогда с использова­ нием многочленов Чебышева обоих родов получаем: sin 2х = cos х - 2v, cos3x = 4 cos'x —3cosx = cosx(4cos x —3) = cosx • (1 — 4w*) sin 4x = (8 cos x — 4 cosx) sin x = cosx (8 cos x — 4) sin x = (4v — 8u") cosx; e t 8 8 после подстановки уравнение принимает вид (12t^ — 8v» — Зи + 2) cos х = 0. Многочлен третьей степени удаётся разложить на множители: (4u — l)(3» — 2)cosx = 0. или (4sin*x— I)(3sm х — 2)cosx = 0, и мы легко находим восемь корней уравнения (в пределах периода): тс 3 те 3 5 7 i — " " 9 » — ~2 » * — 2 -*4 — -у те, Х — -j - те, Х — -у тс; два последних корня определяются из уравнения 2 smx = . П р и м е р 8. Требуется найти корни уравнения 1 + sin х cosx = 35 cos х в пределах первой четверти. Так как обе части уравнения содержат лишь члены чётных степеней относительно cos х и sin х и, следовательно, левая и правая его части не меняются при замене х на х-\-ъ, то имеет смысл ввести переменную u = tgx. Пользуясь формулами (142), приводим уравнение к виду > (1 + w*) (1 + w + w ) = 35. (156) x х к e х 8 в T 4 3