* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

116 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО w мы получим, заменяя и формулах (143) х через -j, в результате непосредственного вычисления: 2г I sin* = - , ^ г « » через t, ИЛИ ^ C 0 S 1 (> 144 *=T+7i' ) Таким образом, синус, косинус, а следовательно, и остальные четыре тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально. По значению tg у можно вычислить однозначно значения всех тригонометрических функций. График функции / = t g y (он изображён на-рис. 55 пунктиром) получается из графика w = tgx посредством растяжения в 2 раза по направлению оси Ох. Из рис. 55 ясно, что каждому значению t соответствует (в пределах периода длиной 2я) одно и только одно значение х, а следовательно, — о д н о значение каждой из функций и, v, w, щ, v , w . 1 X Конечно, функция = — = c t g y способна играть такую же x t роль. § 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них Всякая рациональная функция от элементарных тригонометри­ ческих функций одной и той же переменной х может быть пред­ ставлена как рациональная функция от двух элементарных функций: и == cos х и v = sin х. Это следует из того обстоятельства, что по формулам (141) функция w = t g х , а также функции к, = secх, v — cosec х и w = ctgx выражаются рационально через и и v. При этом нужно принять во внимание, что рациональная функция от одной или не­ скольких переменных, из которых каждая зависит рационально от одной или большего числа других переменных, сама есть, очевидно, рациональная же функция от этих других переменных. Пример. J / secjc L cosec х \ у **** cosx 2 \l-ftgx 1 — ctgxy u — v- 'cos x — sin x I . Всякая рациональная функция от элементарных тригоно­ метрических функций одной и той же переменной х может быть представлена как рациональная функция от одной лишь функции — тангенса половинного угла: t t 2 8 2