* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ПО
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Многочлен L (и) -f- vM (и) удовлетворяет всем требованиям, которые были предъявлены теоремой к многочлену Р (к, т;). Но он — не единственный, удовлетворяющий этим требованиям ) . Мы укажем ещё одну возможную форму многочлена P(u v).
! t
Заменяя в тождествах (125) и (126) х через у — J C , новые тождества: cos n(^j — x*j = T (sin JC),
n
мы получим
(134) sin n(~ — x^j = U (sin JC) cos x,
n
которым, расчленяя случаи n четного и п нечетного, можно также придать следующий вид: cos2wx = (— 1) ^ ( s i n j c ) ,
1 2/( л
cos(2л + 1 ) л ; = ( — 1)" U
in+X
(sin JC) COS JC,
sin2/2jc = (— l ) " * f/ (sinJc)cosjc, Отсюда получается: fix) = {a + b T (v) b x x
s i n ( 2 « - j - l ) JC=(— 1)" 7*^1 (sin*).
а Г (v) - 6 7 (v) + aj,
а а 3 3
(v) + . . . \ +
и, полагая L (v) = a ^bJ (v) — 0,7,(1») — V a ( t O + * i i ( ' ) + M (v) = a U (v) + b ^ (v) — a U (y) — b.U, (v) + ...,
i ii x i x x 9 3 7 t
J(
1 3 5
)
мы находим новую форму для многочлена Р(а, f(x) = L (v) - f uM (v).
t x
v): (136)
Полезно обратить внимание на несколько следующих частных случаев. Условимся буквой Р обозначать рациональный многочлен. Тогда 1) Если b =b^ = b = b^ = . . . = 0 , т. е. если f(x) есть три гонометрический многочлен вида
x z
/ ( J C ) = а -f- «i cos JC - | - в , cos 2х +
0
. . . -f- а cos nx - j п
...»
то он представляет собой рациональный многочлен от соэдг:
/(JC) =
0 i i 3
P(COSJC).
2) Если a = a = a = a = . . . = 0 , т. е. если f(x) гонометрический многочлен вида f{x)
x
есть три
= b sin JC -f- b$ sin 2Л: - j - - - . +
t
sin nx -f- . . . ,
8
) Это следует из того, что если 0 = COSJC, v = sin х, то выражение и*, встретившееся где-нибудь и формуле, можно заменить через 1 — и .
