* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

106 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Докажем следующую теорему. Всякий рациональный многочлен Р (н, v) переменных u = cosx, v = s\nx относительно двух есть тригонометрический многочлен относительно переменной х. Порядок этого многочлена не превышает степени многочлена Р (и, V) относительно пары -переменных и, v. Доказательство разобьём на несколько ступеней. 1) Каждое из выражений вида cos рх cos qx, sinpxcosqx, cos px sin qx, sinpxsinqx (122) (где p и q — целые положительные числа) есть тригонометриче­ ский многочлен порядка р -|- q. Это следует из элементарных то­ ждеств: cos рх cos qx=~ [cos (р -J- q) x -f- cos (p — q) x], s i n sin px cos qx = Y t (Р~\~Я) 9) x + s i n (P — 4) ]> q)x], x cos px sin qx = Y [ n (P sin px sin qx =~ si x — sin (p — [— cos (p —j— q) x -|— cos {p — q) x\. 2) Произведение двух тригонометрических многочленов поряд­ ков г и s есть тригонометрический многочлен порядка г - } - * Предположим, что перемножаются многочлены f(x) и g(x) = d -\-(a' cosx-\-b' s\nx)-\a 1 l = a -\-(a cosx-\-b 0 l 1 sinx)-\- ... -\- (a cos rx -\- b sin гх) r r . . . -^(^cossAr-j-^sinsx). Их произведение есть сумма конечного числа членов вида (122) с постоянными коэффициентами, и следовательно, в силу предвари­ тельных замечаний (1) и (2), также есть тригонометрический мно­ гочлен. Порядок его, очевидно, не превышает r - f - s , но не может и быть меньше, так как члены порядка r-J-s получаются только при перемножении выражений a cos гх -\- t^sin гх и a' cos sx ~\-b' sin sx, именно, они таковы: r s s у j (a/i's — b b' ) cos (r + s) x + {a b' ~\~ 6 ^ ) sin (r - f s) * } . r s r s r Коэффициенты при cos (г-{-$)•* и sin ( г - [ - $ ) * не могут обра­ титься в нуль одновременно, так как если а * - [ - ^ г ^ > 0 | то из урав­ нений aa — bjb =$ b/i' -\-a b = 0 сейчас же следует: a' = b = 0. r s s f s r s s s