* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 105 § 27. Тригонометрические многочлены Подобно тому как всякая функция вида /(*) = + сх г + CaJC - f - . . . - f 0 v 9 c^xf 1 (где п — целое положительное число; с , c . . . , с — постоянные коэффициенты) носит название рационального многочлена (относи­ тельно переменной х), введено также особое наименование для функций вида п f{x) — а -\- (а cos х -\- b sin х) -|- (e % 4 " *а ^ ) Ч" — ... (a cos пх -\- b sin пх) (121) 0 х x a n n 9 0t lf n i9 if f n c o s х s l n х где я — целое положительное число; a a ...,a ,b b ... b — постоянные коэффициенты. Такие функции называются тригономе­ трическими многочленами (относительно переменной х). Число п (при условии а%-\-ЬпФ 0) называется порядком тригонометриче­ ского многочлена. Коэффициент а есть свободный член, выраже­ ние a, cosx-\-b slnx—первый член, выражение а cos 2х b sin 2х— второй член тригонометрического многочлена и т. д. График т-го члена многочлена (при т^1) представляет собой простое гармоЭт­ ническое колебание частоты т (т. е. периода - ^ ) . График вся­ кого тригонометрического многочлена порядка я ( ^ 2 ) носит назва­ ние сложного гармонического колебания. Пример такого колеба­ ния был указан в предыдущем параграфе. Так как всякая функция периода ш имеет также периодами все числа, кратные со, то каждый член многочлена (121) имеет перио­ дом число 2я. Так как, с другой стороны, сумма функций некото­ рого периода также есть функция с этим самым периодом, то сам многочлен (121) имеет период 2 л ) . Совершенно очевидно, что 1) сумма двух (или большего числа) тригонометрических мно­ гочленов п о р я д к а ^ п есть также тригонометрический многочлен порядка < я; 2) при умножении тригонометрического многочлена на постоян­ ное число он остаётся тригонометрическим многочленом, без повы­ шения порядка. 0 x 2 % 1 *) Термины «тригонометрический многочлен» и «сложное гармоническое колебание» относятся также к выражениям более общего вида I / 2кдг . , . 2юх\ . . I 2ъпх . . 2т.пх\ flo + ^ i с о в — + $ , я п — j + . . .+(flnCos-^-+* sin-^J , n t возникающим при «растяжении» в раз по направлению оси Ох. Такие мно¬ гочлены, конечно, имеют период <с. В дальнейшем, однако, ради простоты рассматриваются лишь многочле­ ны вида (121) с периодом 2п.