* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

96 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Абсцисса X и ордината У точки Л1, расположенной на окруж­ ности таким образом, что длина дуги AM равна х, являются функ­ циями величины х называемыми косинусом и синусом: у Х=соьх — ОМ и Y=s\nx = М М. Х (100) Из соотношения (99) следует тождество cos JC + E sin JC=l. 9 (101) Таким образом, определение основных тригонометрических функ­ ций, сообщаемое в школе, носит геометрический характер. Ввиду того, что оно связано с рассмотрением окружности (круга), триго­ нометрические функции иначе называются круговыми. Существуют и различные аналитические (формульные) определения синуса и ко­ синуса: простейшие из формул, которые могут быть взяты в каче­ стве определений, — степенные ряды (см. стр. 471 и 500) подразу­ мевают выполнение лишь двух действий — сложения и умножения, но число этих действий бесконечно (что равносильно наличию пре­ дельного перехода, см. § 48); как известно, о подобного рода формулах школьные программы не упоминают. Замечательное свойство синуса и косинуса, которое отличает их от всех ранее рассмотренных нами функций, — их периодичность. Геометрически ясно, что после полного оборота по окружности точка М снова оказывается на прежнем месте; отсюда следуют тождества sin (JC - | - 2тс) = sin х, 1 cos (л: - f - 2я) = cos х, О 02) свидетельствующие о том (см. § 3), что 2я есть период функций синуса и косинуса ). Наличие периода позволяет сделать заключение о трансцендентности три­ гонометрических функций (см. § 19). В самом деле, раз функция имеет период, то она принимает одно и то же значение с в бесконечном ряде различных точек: например, COSJC принимает значение 1 в точках вида 2£тс ). Но функ­ ция, обладающая этим свойством и не сводящаяся к постоянной с, никак не может быть алгебраической. Действительно, алгебраическая функция y=f(x) определяется уравнением вида Р ( * , у ) = 0, & где Р(х, у) — многочлен относительно х и у; допустим, что у имеет значе­ ние с при бесчисленном множестве значений х, но не при всех значениях х\ тогда алгебраическое уравнение Р(х, с) = 0, (35') *) Итак, в «гомологических» точках (различающихся на величину, крат­ ную 2тс) каждая из функций cos х и sinx принимает одни и те же значения. При таких условиях во многих случаях можно, не различая гомологических четвертей, ограничиться рассмотрением первых четырёх, образующих один период. ) Здесь и дальше k обозначает произвольное целое число. &