* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
64
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай)
Всякая дробная рациональная функция y = R(x) может быть представлена в виде отношения двух многочленов, не имеющих общих корней, где Р(х) = ах -{-Ьх - -\= а{х—а?
, , п п 1
... + kx-{-l (x-pf
,
= + qY
... &+px
(jc) = aJc"' + 6 y - + . . . -\-k'x + V =
Возникающие при разложении на множители трёхчлены второй степени с мнимыми корнями х* -\- рх -\- д, х* -\- ffх -\- q\ ... всегда сохраняют положительный знак. Все корни числителя и знамена теля предполагаются различными. Старшие коэффициенты а \\ d (несущественно ограничивая общность) можно для простоты при нять равными единице. Итак,
Представим себе, что числа а, р, . . . , а', Р', . . . , являющиеся действительными корнями числителя и знаменателя, будучи распо ложены в порядке возрастания, разбивают ось Ох на некоторое число промежутков. Взяв какое-нибудь значение х в одном из про межутков, легко сосчитаем, с учётом кратности, число множителей в числителе и знаменателе дроби, имеющих отрицательный знак при этом значении х\ знак функции будет тот или иной в зави симости от чётности этого числа. Названное число множителей равно числу действительных корней числителя и знаменателя не чётной кратности,* превышающих рассматриваемое значение х\ оно, очевидно, не зависит от выбора значения х в данном промежутке и зависит, таким образом, только от промежутка. Исходя из этого соображения, можно сразу разметить знаки, соответствующие про межуткам, представляя себе, что х убывает от оо до — оо, и учитывая, что знак функции меняется при прохождении х через всякий действительный корень нечётной кратности в числителе и знаменателе. Если а и с' не равны между собой, то перед дробью в фор муле (34) появляется числовой коэффициент: будучи положитель ным, он не влияет на знак функции (вызывая растяжение графика функции в направлении оси Оу); будучи отрицательным, даёт про тивоположное распределение знаков (к растяжению присоединяется отражение относительно оси Ох).