* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

36 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Если а<^с<^Ь и если в промежутке от а до с функция f(x) возрастает, а в промежутке от с до Ъ убывает, то в точке х = с функция f(x) имеет м а к с и м у м ; если, напротив, в промежутке от а до с функция убывает, а в промежутке от с до Ь возрастает, то в точке х=с она имеет м и н и м у м . Сказанное не является определением максимума и минимума: согласно точному, принятому в науке определению функция и м е е т м а к с и м у м в точке х = с, если можно указать два таких числа а и Ь, что 1) а < с < £ , 2) неравенство m>f[x) (35) имеет место для любого х, удовлетворяющего условиям а<^х<С^Ь хфс. Аналогично для минимума. В дальнейшем (см. § 46, пример 4) на примере будет обнаружено, что вторая формулировка несколько шире первой. Геометрический смысл понятий возрастания и убывания, макси­ мума и минимума достаточно очевиден и не требует пояснений. 9 П р и м е ч а н и е 1. Понятия «возрастающая функция> и «убывающая функция» могут быть несколько расширены. Именно, можно предположить, что взамен неравенства (32), как следствие неравенства х <х" должно вы­ полняться менее стеснительное соотношение , 9 f(x')*£f(x"). (32') Таким образом, предполагается, что с увеличением независимой переменной функция или возрастает или не изменяет значения (но не убывает): такую функцию называют неубывающей. Веяная возрастающая функция есть вместе с тем неубывающая; об­ ратное неверно. Вот «житейский» пример неубывающей функции: х— время, f{x) — по­ казание электросчётчика. С течением времени при затрате электроэнергии показание счётчика увеличивается; но если в течение какого-нибудь про­ межутка времени энергия не расходуется, то не изменяется и показание счётчика. Можно доказать, что всякая э л е м е н т а р н а я неубывающая функ­ ция непременно должна быть возрастающей (если она не сводится к посто­ янной). Точно так же функция, удовлетворяющая требованию /<-ог*/<*"). (34') менее стеснительному, чем требование (34), называется невозрастаю щей. П р и м е ч а н и е 2. Понятия максимума и минимума также допускают некоторое расширение. Говорят, что в точке с функция f (х) имеет м а к с и ­ мум в р а с ш и р е н н о м с м ы с л е , если взамен точного неравенства(35) в окрестности этой точки выполняется соотношение f(c)^f(x). Аналогично для минимума. (35')